Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

242

ФУНКЦИИ

НЕСI<ОЛЫ(ИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

(ГЛ.VЩ

О

п

редел

е

н

и

е.

Функция

z

=

f (х,

у),

полкое

приращение

Лz

которой суммы и Лу,

в	данной точке	(х, у)	может	быть представлено		в виде
двух слагаемых:		выражения, линейного			относительно Лх
и	величины, бесконечно		малой	высшего	порядка	относи­

тельно

Лр,

называется

дифференцируемой

в

данной

точке,

а

линей­

ная

часть

приращения

называется

полным

дифференциалом

и

обоз­

начается через dz
Из	равенства

или (5')

df. следует,

что

если

функция

f

(х,

у)

имеет

непрерывные

частные

производные

в

данной

точке,

то

она

диффе­

ренцируема

в

этой

точке

и

имеет

полный

дифференциал

dz

=

f~

(х,

у)

Лх+

f~

(х,

у)

Лу.

Равенство

(5')

можно переписать в виде Лz=dz+y1 Лх+у2 Лу,

и с Лр

точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно
можно написать	следующее	п	р и ближе н н о е	равенство:
	Лz,::; dz.

Приращения

независимых

переменных

Лх

и

Лу

мы

будем

назы­

вать	дифференциалами
Лу	.iх.4у
	g:'Afl

независимых переменных х	и	у	и	обозна­
чать соответственно через	dx		и	dy. Тоr-
да выражение полного дифференциала при-

&:ет	вид
	дf	дf
	dz=Тxdx+ ду dy.

11

Рис.

174.

Таким		образом, если функция z = f (х,					у}
имеет		непрерывные частные			производные,
то	она дифференцируема в				точке	(х,	у),
и	ее	полный дифференциал			равен	сумме
произведений			частных	производных			на
дифференциалы			соответствующих			незави­
симых		переменных.

Пр и мер	1.	Найти	полный дифференциал и полное приращение
%=ХУ в точке	(2;	3) при	Лх=О,1, Лу=О,2.
Ре шеи ие.
	Лz=(х+Лх) (у+Лу)-хg=уЛх+х Лу+Лх~у,
		д	дz
	dz==axdx+ ду dy=ydx+xdg=yЛx+xЛy.

функции

Следовательно,

Лz=З-0,1

+2.0,2+0,1,О,2=0',72,

dz=З,0,1

+2,0,2=0,7.

На

рис.

174

дана

имюстрация

к

этому

примеру.

	Предыдущие
зом	обобщаются

рассуждения на функции

и определения любого числа

соответственным аргументов.

обра­

250

ФУНКЦИИ

НЕСКОЛЬКИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

[ГЛ.

Vlll

Получаем

ди +

+ ( дF

ди + дF

dz _

( дF

дF

дv ) dx

дv )

d .

ди

дх

дv

дх

ди

ду

дv

ду

у

Произведем следующие

преобразования

в правой

части:

dz = :~

( :: dx +:; dy)

+ :

( :

dx + : dy) •

Но

dx + ди

ди

d

у

= du

•

дх

ду

дv

дv

dy= dv.

Тхdх+ ду

(7}

(8)

Равенство

(7)

с

учетом	равенств (8)		можно
	дF	дF
dz = ди		du +av dv,

переписать	так:
	(9)

или

dz=

дz ди

дz du+avdv.

(9')

Сравнивая

(6)

и

(9'),

можем

сказать,

что

выражение

.полного

дифференциала функции первого порядка) имеет

нескольких тот же вид,

переменных т. е. форма

(дифференциала дифlJеренциала

инвариантна,

являются

ли

и

и

v

независимыми

переменными

или

функциями

независимых

переменных.

П

р

и

м е

р

4.

Найти

полный

дифференциал

сложкой

функции

Решен и е. По формуле (9') имеем
dz= 2uv3 dи+Зи2v2 dv=2uv3 (2х sln у dx+x2	cos у dу)+Зи2v2

(Зх

2

еУ

dx+x3eY dy).

Последнее

выражение

можно

переписать

и

так:

2

2

2

~11

2

2

2

dy =

v

г-) dx+ (2uv3х

x3ell)

dz=(2uv3- 2х sin у+Зи

• Зх

cos у+Зи

v

дz дх

dx

+

дz ду

dy,

§

11.

Производная

от

функции,

заданной

неявно

Начнем переменной

рассмотрение этого вопроса с неявной
*).	Пусть	некоторая функция у от

функции одной х определяется

уравнением

F

(х,

у)

=0,

Докажем

следующую

теорему.

*)

В

§

11

гл.

111

мы

решали

задачу

о

дифференцировании

неявной

функ­

ции одной переменной. Там мы рассматривали отдельные примеры и не нашли общей фор~улы, дающей производную от неявной функции, а также не выяс­

нили

условий

существования

этой

производной,