Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

t9i

:КРИВИЗНА

КРИВОЙ

(ГЛ.

VI

Совершенно

так

же

доказывается

это

равенство

и

при

возра­

стании радиуса у

кривизны.

Мы		доказали			теоремы		1	и 2
для	того			случая,		когда	кривая
задана		уравнением				в явном		виде
у= f (х).			кривая		задана парамет­
	Если
рическими				уравнениями,			то	эти
теоремы			остаются		в	силе,	причем
их	доказательство					проводится со­

вершенно

аналогично.

3 щий

а меч ан простой

и е. Укажем следую­ механический способ

для

построения

кривой

(эвольвен­

ты)

по ее Пусть

эволюте. гибкая линейка

согнута

по

форме

эволюты

С0

С

6

(рис.

153).

Предположим,

что

нерастяжимая

о

нить,
ная	в
нейку.

одним точке Если

ко•ом		укреплен­
С ,	огибает		эту	ли­
0	будем		эту	нить
мы

Рис.

152.

развертывать,

оставляя

ее

все

время

натянутой,

то

конец

нити

опишет кривую М ние «эвольвента» -

5

М	0	-	эвольвенту. Отсюда происходит
развертка. Доказательство того, что

и назва­ получен

1 J

!J

о

Рис.	153.			Рис. 154.
ная кривая	действительно	является	эвольвентой,			может
проведено с помощью установленных			выше	свойств		эволюты.
Отметим,	что одной эволюте соответствует				бесчисленное
жество различных звольвент (рис. 153).

быть мно­

§

8}

ПРИБЛИЖЕННОЕ

ВЫЧИСЛЕНИЕ

.цвnств.

КОРНЕЙ

УРАВНЕНИЯ

199

Пр им ер.

эвольвент этой Учитывая,

окружности:

Пусrь имеем		окружность радиуса а (рис.		154).	Возьмем		ту	из
окружности,		которая	проходит через точку	М0	(а,	О).
что	СМ= СМ0=at,		легко получить уравнения			эвольвенты

ОР

=х=а

(co:s

t+

t

sin

t),

РМ

=

у=а

(sin

t-t

cos

t).

Отметим,	что профиль
эвольвенты окружности.

зуба зубчатого

колеса

имеет

чаще

всего

форму

§ 8. Приближенное вычисление действительных корней уравнения

Методы исследования

находить приближенные

поведения функции дают	возможность
значения корней уравнения

f(x)=O.

Если

данное

уравнuение

есть

алгебраическое

уравнение*)

первой, второй, третьеи
формулы,	позволяющие

или четвертой выра-

степени,

то

существуют

зить	корни	уравнения	через его
коэффициенты с помощью конеч­
ного	числа	операций	сложения,

.!/

в

!J=/(.z-J

о

Рис.

155.

А

Рис.

156.

вычитания,

умножения,

деления

и

извлечения

корней.

Для

урав­

нений выше существует.

четвертой степени таких формул, вообще говоря, не
Если коэффициенты любого уравнения,	алгебраиче­

ского

или

неалгебраического

(трансцендентного),

не

буквенные,

а числовые, то
женно с	любой
случаях,	когда

корни	уравнения могут			быть вычислены прибли­
степенью		точности.	Отметим,		что	даже	в тех
корни	алгебраического			уравнения		выражаются

через

радикалы,

на

практике

иногда

целесообразно

применять

(см.

*) §

Уравнение 6 гл. VI I).

f

(х)

=

О

называется

алгебраическим,

если

f

(х)

есть

многочлен