Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

.222

КОМПЛЕКСНЫЕ

ЧИСЛА.

МНОГОЧЛЕНЫ

(ГЛ.

Vll

отдельно		члены,		содержащие i и	не содержащие
				f (a+ib)=M +iN,
где М	и	N	-выражения, не содержащие i.
Так	как		а+iЬ-корень многочлена, то
				f(a+ib)=M+iN =0,
откуда
				М=О,	N=0.

t,

то

получим

	Подставим			теперь	в многочлен
Тогда		(на	основании		замечания	3
в	результате			число, сопряженное		с

вместо		х
в	конце
числом		М

выражение			а -	ib.
§ 2)	мы	получим
+iN,	т. е.

f

(a-ib)

=M-iN.

Так как	М =0		и N =0,	то f (a-ib) =0, т. е. a-ib
многочлена.
Итак,	в	разложении
			f(x)=A 0	(x-a1) (х-а2) ••• (х-ап)

есть

корень

комплексные корни входят поп ар но	с оп р я жен н ы ми.
Перемножив линейные множители,	соответствующие паре

ком­

плексно сопряженных корней, получим с действительными коэффициентами:

трехчлен

второй

степени

[х-

(a+ib)][x-(a-ib)] = [(х-а) -ib][(x-a)						+ib] =			х8+
= (х-а)		+Ь	= х	-2ах+а	2	+Ь	2	=
	2	2	2

px+q,

где	р = -2а,	q = а2 +Ь2 -		действительн~1е числа.	k,
	Если число		а+Ы является корнем кратности
ное	число а -		Ы должно	являться корнем той	же

то сопряжен­

кратности k,

так

что

наряду

слинейными

множителями

х

-

(а+

ib)

в

разло­

жение

многочлена

входят

столько

же

линейных

множителей

вида

х- (a-ib).

Таким образом,

многочлен

с

действителышми

коэффициентами

разлагается на множители с действительными коэффициентами первой и второй степени соответствующей кратности, т. е.

/ (х) =А

0

= (x

-

a

1

)k,

(x-a

2

)k,

...

(x-a,)kr

(x

2

+p

1

x+q

1	)

1•

.•.

(x\l+Psx+qs)'"·

Пр1t

этом

§

9.

Интерполирование.

Интерполяционная

формула

Лагранжа

Пусть ществует

при изучении некоторого явления установлено,

функциональная зависимость между величинами

что у и

су­ х,

описывающая

количественную

сторону

данного

явления;

при

этом

§

12}

О

НАИЛУЧШЕМ

llРИБЛИЖЕНИИ-

ФУНКЦИЙ

МНОГОЧЛЕНАМИ

227

то

Если	будем рассматривать	многочлен 3-го порядка (см. (3)
после	дифференцирования	для его производной получим

§ 10), выра­

жение
<р' (х) ~ р; (х) =
В	частности,

Лко + л;tо		(
	+ :~~~
при	х = х	0

2х	/о -
[З	0
	( х h х
получаем

1)	+
)	-б
2

(

х

h

х

0

, ( )	Р' ( )	Луо	Л	Уо	+ Л	Уо
			2		3
<р Хо~	з Х	=т-~			зiz•

)

+

2]

•

(З)

(4)

Если

мы

будем

пользоваться

формулой

(4)

§

10,

то

для

при-

ближенного

выражения

производной

при

х

=

х

0

получим

<р

,

(

Хо

)

~

Р' n

(	)
	х

-

Луо h

-

Л	2	Уо
2h

+

Л	Уо
3
Зh

-

Л4у0 4h

+

'

'

'

(5)

Заметим,

что

для

функции,

имеющей

производные,

разность

Лу0

есть	бесконечно					малая	1-го
порядка,		Л	3	у0	-бесконечно

порядка, малая

Л	у
2
3-го

0

-бесконечно порядка и т.

малая 2-го д. относи­

тельно

h.

§

12.

О

наилучшем

приближении функций

Теория Чебышева

многочленами.

В	связи		с	задачей,		рассмотренной			в §§
поставить		такой			вопрос:	пусть	на	отрезке

9 и	10, естественно
[а,	Ь] задана непре­

рывная

функция

<р

(х).

Можно

ли

эту

функцию

с

люб

ой

н а пер ед представить

з

ад в

а н н виде

ой	ст е пен ь
многочлена Р

ю	то ч н о	ст и	приближенно
(х)?	Иначе	говоря, можно ли

подобрать
и Р (х)	по

такой	многочлен		Р (х),
абсолютной		величине

чтобы во всех

разность	между
точках	отрезка

<р (х}

[а, ЬJ

была меньше любого наперед заданного

Утвердительный ответ*) на этот вопрос

положительного числа Е?

содержится в следующей

теореме, которую мы приводим здесь без						:
						доказательства
Теорем а		Вей ерш трасс а.			Если	функция (J) (х)
рывна на	отрезке [а, Ь],		то	для любого е > О существует
многочлен	Р (х),	что во	всех	точках указанного отрезка

непре­ такой выпол­

няется

неравенство

1q>

(х)

-

Р

(х)

1<

е.

Выдающийся

советский

математик

академик

С.

Н.

Бернштейн

дал

следующий

способ

непосредственного

построения

таких

много-

*)' Заметим, что			интерполяционный			многочлен			Лагранжа
дает еще	ответа	на	постав.ленный		вопрос.		Его		значения
функции	в точках	х0, х1, х2		, ••• ,	Хп,	но они		могут быть
значений	функции	в	.других	точках	01резка		[а,	Ь].

(см.	(3) § 9)	не
равны	значениям
очень	да.леки	т

8•