Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

§

1]

ДЛИНА

ДУГИ

И

ЕЕ

ПРОИЗВОДНА.Я

185

Рассмотрим

следующий

вопрос.

Пусть

мы

имеем

на

плоскости

кривую,

заданную

уравнением

у=

f

(х).

Пусть

М

0

(х

0

,

у0)

-

некоторая	фиксированная точка кривой,			а	М (х,
точка этой	кривой.	Обозначим	через s длину		дуги
При изменении		абсциссы х	точки М	длина s

у)-переменная
М0М	(рис. 139).
дуги	будет ме­

няться,

т.

е.

s

есть

функция

х.

Найдем	производную
	у

s

по

х.

Рис.

138.

О

Хо	х	x+L1.:c
	Рис.	139.

Дадим

х

приращение

Лх.

Тогда

дуга

s

получит

приращение

Лs = дл. ММ1• Пусть				ММ1
	б	v .				Лs
		1			-л			,
того что		ы наити	1m
		Лх О					Х
1	Q	находим ММ			1	2	=
Л ММ
		2	:
левую часть на Лs

-хорда, стягивающая			эту			дугу.		Для
поступим		следующим		о	б		разом:	из
(Лх)2 + (Лу)2	•	Умножим		и			разделим

(

ММ1)2лs2=(Лх)2+(Лу)2. _лs

Разделим

все

члены равенства на Лх	2	:
( мл~1)2( :: )2 = 1	+ (~t у.

Найдем			предел		левой	и правой	частей		при	Лх-+ О.
что	lim		м::	1	= 1 и	что lim	~У=:У,		получим
	ММ,	О				Лх О	Х	Х
			(::у= 1			+ (:~)2 или		:: =	У1	+ (:~)2.

Учитывая,

(1)

Для

дифференциала

дуги

получим

следующее

выражение:

ds= или*) ds

у 1	+
= Vdx
	2

(~~)2

+dy2

dx

•

(2)

(2')

*)	Строго говоря, формула (2')		верна лишь для
Если	же dx < О, то ds=- V dx	+dy			• Поэтому в
	2			2
правильнее записать так: 1ds 1= Vdx				2	+dy	•
					2

того случаи,	когда dx > О.
общем случае	эту формулу