Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

276

ФУНКЦИИ

НЕСI(ОЛЫ(ИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

[ГЛ.

VIII

Итак,	д.ля	того	чтобы объем коробки был			наибольшим,
быть кубом, ребро			которого	равно Уа/3.
П р и	мер	2. Определить		наиболыuее	значение		корня

эта коробка

п-й степени

должна из про­

изведения	чисел	х1	, х2 ,	••• , Хп	при	условии, что их
числу а. Следовательно,				задача ставится так: требуется
ции и= i1/Х1••		• Хп	при	условии

сумма	равна данному
найти	максимум функ•

Образуем

х1+х2+ ... +хп-а=О	(х1 >6, х2 >6, ... , Хп>О).
вспомогательную функцию
F(x1, ... , Хп, л.)=i1/х1•••хп+Чх1+х2+••·+хп-а).

(12)

Находим

ее

частные

производные:

р'		=_!_	Х2Х3...	Хп	+л=..!..~+л.=0	ИЛИ
	х,	n		~	n х1	'
	,	1	(xi .. •xn)	п
F			и			или
	х,	=--+л.=·О
		n	Х2	'
... . . . . . . . .. . . .. ... . . .. ..

U=-nл.xt,

и=-nл.х2, .... . .

F

, Хп

=

1	и
--+1=0
n	Xn

,

или

и=-n'J.хп.

Из ния

последних	равенств	находим	х1		=х2 =,.,=Хп,		а на основании
( 1~ получаем х1=t х2		= ... =	Хп	= а/п.		максимум	функции )Ух1.••
По смыслу	задачи эти значения				дают

уравне­ Хп, рав­

ный ных

а/п.
Таким	образом,	дЛIЯ	любых	положительных чисел
соотношением х1+х2+...				+Хп = а, выполняется

х1, х2, ••• , неравенство

Хп,

связан•

(

так

как,

по

доказанному,

:

	п/-	(13)
	V X1-••xn<afn
	является наибольшим значением этой функции) .

Подсrавляя теперь в неравенство	(13)	вместо	а ,его	значение,
равенства (12), .найдем

{1/	х1+	... +хп	•
X1X2•••xns;;;;;	-	n

полученное из

(14)

Это неравенство справедливо для любых положительных
Выражение, стоящее в левой	части соотношения (14),

чисел Х:(, х11 ••• Хп. называется средним

геометри'lеским

этих

чисел.

Таким

образом,

среднее

геометрическое

нескольких

положительных

чисел

не

больше

их

среднего

арифметцческого.

§ 19. По.лучение функции	на основании
акспериментальных данных по методу	наименьших

квадратов

Пусть

на

основании

эксперимента

требуется

установить

функ­

циональную

зависимость

величины

у

от

величины

х:

у=

(f!

(х).

(1)

Пусть в результате эксперимента	получено
при соответствуюIUИХ значениях	аргумента.

п

значений

функции

у

278

ФУНКЦИИ

НЕСКОЛЫ(ИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

{fЛ.

VШ

Итак,

задача

свелась

к

нахождению

значений:

параметров

а,

Ь,

с,

...

,

при которых функция S

На основании теоремы

(а, 1 (§

Ь,	с, ••. ) имеет минимум.
17)	следует, что эти значения

а,

Ь, с,

..•

удовлетворяют

системе

уравнений:

или

в

~			~			~	...,
аа=о,			аь=о, ас=о,						l
развернутом виде:
п	а,	Ь,			)]	дq,(xj. а. ь. с•		•.. )_о
L[Yi-q,(xt,			с,	• • •			да	-	'
i=l

п
L [Yi	-	q,	(xi,
i=l
R
~f , _		q,	( .
~1:.У,			Xi,
. . . . . .
f=l

а,

а, .

Ь,		с,	•..	}]	дq, (ч,
Ь	'с,...			)]дq>(Xi,
. . .. . . . .

а,	ь,
	дЬ

а,	Ь,
	де
. ..

с, .•. ) _ -

С,, .. ) . ...

0 '

о, .

4 <>

(5)

Здесь

имеется

столько

уравнений:,

сколько

и

неизвестных.

В

каж­

дом

конкретном

случае

исследуется

вопрос

о

сущес1:Вовании

реше­

ния	системы уравнений: (5)
S (а,	Ь, с, .•. ).
Рассмотрим		несколько

и о существовании минимума функции
случаев	определения функции у=

=q>(x, а. Ь,	с,	.•. ).
1. Пусть	у= ах+Ь.
(см. выражение		(2))
		S (а,

Функция			S	(а, Ь)	в этом
Ь) =	п	[Yi -		(axi
	~				+Ь)]•.
	l= 1

случае	имеет вид
	(6)

Это функция с двумя

числа; см. таблицу на

переменными а и Ь (х,

с. 277). Следовательно,

и

Yi

-

заданные

:

=-2±[u,-(axi+b)]xt=O., i=l

п

т.

е.

система

:: =-2L[yi-(axi+b)]=0,
	i·=l
уравнений (5) в этом случае принимает
±У1Хi -	а ±Xf -	Ь.± Xt = 0,	I
J:1	ni=l	1=1	l
~ u,-a ~ x1 -bn=0.			J
i= 1	i= 1

вид

(7)

Получили систему

а и Ь. Очевидно,

двух линейных уравнений: с двумя неизвестными

что система имеет определенное решение и что