Глава 6. Прочностные свойства горных пород

Введение

В широком смысле прочность – это способность горных пород выдерживать сопротивление воздействию на нее механических нагрузок. В узком смысле следует различать прочность по способу воздействия нагрузок на породу.

Если при приложении нагрузки на породу имеет место практически однородная деформация, то термин «прочность» уточняется характеристикой напряженного состояния: одноосное сжатие или растяжение, комбинация сжатий и растяжений (частный случай – сдвиг), трехосное напряженное состояние. Например, «прочность горной породы при одноосном сжатии». Если область воздействия нагрузки локализована, то говорят о контактной прочности породы. Например, сосредоточенное усилие со стороны инструмента на поверхность породы.

Если сопротивление породы воздействию механических нагрузок заканчивается потерей целостности породы, которое выражается в разделении ее на две и более частей, то говорят о пределе прочности породы. Очевидно, такое определение справедливо не для всех пород. Для пород текучих, пород, обладающих высокой пластичностью, понятие предела прочности носит весьма условный смысл.

Обычно использование понятия прочности подразумевает, что объектом исследования является образец горной породы, который может быть подвергнут стандартным испытаниям. Однако если речь идет о горных выработках, то стандартные испытания далеко не всегда осуществимы, а порой и вообще не возможны. В этом случае вместо понятия «прочность» используют понятие «устойчивость», например, «устойчивость борта карьера».

Правильным будет считать, что любая горная выработка находится в сложнонапряженном состоянии. Поэтому нельзя утверждать, что тот или иной предел прочности, определенный для простого напряженного состояния образца породы, отобранного из выработки, играет решающую роль в конкретном случае. Однако различные характеристики прочности, полученные на серии образцов, совместно с адекватно выбранной расчетной моделью напряженно-деформированного состояния при известных критериях (например, допустимая деформация) позволяют ответить на вопрос об устойчивости выработки.

Поскольку главной задачей горного производства является выемка горных пород и обогащение полезных ископаемых, которые связаны с их разрушением, то значимость такой физико-механической характеристики как прочность очевидна.

В настоящей главе кратко рассматриваются представления об идеальной прочности; обсуждаются формы разрушения скальных и полускальных пород при различных видах нагружения, способы определения пределов прочности пород при простых напряженных состояниях и предельной прочности пород в случае сложного напряженного состояния; приводится пример оценки устойчивости горной выработки.

6.1. Общие представления об идеальной и реальной прочности пород

Получить общие представления об идеальной прочности пород можно, рассмотрев энергию взаимодействия между атомами в идеальной кристаллической решетке. Таким образом, приближением идеальной породы является совершенный минерал.

Из теории твердого тела следует, что потенциальная энергия взаимодействия двух атомов - имеет вид, представленный на рис. 6.1. В одномерном случае сила взаимодействия атомов определяется согласно выражению - (силы притяжения считаются положительными, силы отталкивания - отрицательными). При этом существует такое расстояние между атомами - , которое соответствует состоянию устойчивого равновесия ( , потенциальная энергия имеет минимум). В кристаллах такое расстояние называется постоянной решетки.

Д ля линейной цепочки атомов сила - является периодической функцией, так же как и напряжение - . В качестве первого приближения для напряжения выберем функцию вида

(6.1).

Выражение (6.1) наиболее точно описывает изменение напряжения вблизи положения устойчивого равновесия.

Далее поступим следующим образом. Поскольку разрушение предваряется развитием трещины, а трещины, в свою очередь, по механизму образования бывают трещинами растяжения или сдвига (глава 1), то следует рассмотреть два простых напряженных состояния: одноосное растяжение и сдвиг.

Одноосное растяжение. Воспользуемся законом Гука. В этом случае для напряжения имеем

, (6.2)

где - относительная деформация. Выражение (6.2) может рассматриваться как уравнение прямой, являющейся касательной к функции (6.1) в точке - . Беря производную от функции (6.1) по - и приравнивая ее к - в точке - , найдем

. (6.3)

Поскольку величина - вычислена для значения модуля Юнга, соответствующего касательной прямой в точке наибольшего изменения функции (6.1), то она является верхней оценкой идеальной прочности минерала при испытании на одноосное растяжение.

В то же время согласно (6.1) максимальное растягивающее напряжение достигается для - . При подстановке этого значения в выражение (6.2) получаем для напряжения - , величина которого близка к - . Заметим, что для растягивающих напряжений вплоть до разрушения хрупких тел применение функции (6.1) ограничивается одним полупериодом.

Оценим прочность минералов при растяжении. Например, для галита - модуль Юнга -  = 3,2510¹⁰ Па, реальный предел прочности при одноосном растяжении -  = 410⁶ Па. Согласно (6.3) получим  = 5,210⁹ Па. Нетрудно видеть, что идеальная прочность минерала оказалась существенно выше (в 1300 раз) реальной прочности.

Подобное несоответствие было разрешено Гриффитсом (1920 г). Гриффитс рассматривал разрушение абсолютно хрупких тел под действием растягивающей силы при наличии в них затравочной трещины. Положение, которое легло в основу теории Гриффитса, заключалось в требовании постоянства полной энергии системы независимо от ее конфигурации.

Р ассмотрим образец в виде прямоугольной пластины - с толщиной - (рис. 6.2). Образец подвергается воздействию вдоль стороны - равномерно распределенного по стороне - растягивающего напряжения - . Таким образом, в образце реализуется плоское напряженное состояние. Обозначим через - свободную энергию, связанную с трещиной длиной - ( ), через - энергию упругодеформированного образца с трещиной, через - то же, но для образца без трещины. Тогда условие роста трещины будет

. (6.4)

Энергию - можно связать с поверхностной энергией - , необходимой для образования двух поверхностей растущей трещины общей площадью , т.е. - . При этом разность - будет пропорциональна - , т.к. площадь пластины, в которой имеет место концентрация напряжений (область повышенных напряжений вблизи трещины), пропорциональна - . Величину коэффициента пропорциональности дает механика линейного разрушения. С учетом этого, для плоского напряженного состояния окончательно получим - . Знак «-» в правой части свидетельствует о том, что упругая энергия пластины уменьшается на величину работы, затрачиваемой на образование трещины. Подставляя выражения для энергий в (6.4), окончательно получим

. (6.5)

Согласно выражению (6.5) предел прочности при растяжении зависит от длины первоначальной трещины как . Этот фундаментальный вывод позволяет предсказать следующий факт: с ростом размеров образца вследствие повышения вероятности появления трещины (трещин) большей длины прочность должна падать. Другими словами, если определять предел прочности двух образцов из одной и той же породы, то для образца с большими размерами следует ожидать меньшее значение предела прочности, нежели для образца с малыми размерами. Зависимость прочности от размеров образцов известна в механике горных пород как «масштабный фактор».

В формуле (6.5) содержится параметр - , характеризующий поверхностную энергию. Этот параметр можно оценить, выразив его через модуль Юнга и постоянную решетки. По физическому смыслу поверхностная энергия определяется через работу поверхностных сил (растягивающего напряжения) для разделения минерала по плоскости, проходящей перпендикулярно связям соседних атомов. Учитывая, что согласно (6.1) сила взаимодействия между атомами обращается в нуль для - , а модуль Юнга определяется как тангенс угла наклона касательной к функции - , т.е. , получим следующую оценку для поверхностной энергии

. (6.6)

Подставим выражение для поверхностной энергии (6.6) в формулу (6.5) и окончательно получим

. (6.7)

Если минерал не содержит трещин - , то с точностью до множителя - предел прочности при растяжении по Гриффитсу совпадает с оценкой (6.3). Важно отметить, что и в этом случае предел прочности при растяжении оказывается прямо пропорциональным модулю упругости. Это обстоятельство позволяет устанавливать тесные корреляционные связи между реальными пределами прочности и упругими модулями.

Вернемся к оценке прочности галита. Этот минерал имеет постоянную решетки - 5,610^-10 м. Тогда длина трещины в минерале, соответствующая реальному пределу прочности на растяжение, согласно (6.7) будет  м. По классификации трещиноватости такая трещина является внутрикристаллической.

Существуют экспериментальные подтверждения о влиянии трещин на прочность минералов. А.Ф. Иоффе показал, что при погружении кристаллов - в воду их прочность возрастает до 1,610⁹ Па, т.е. приближается к идеальной прочности. Аналогичная ситуация наблюдается для тонких кварцевых нитей. С уменьшением диаметра нити снижается вероятность появления опасного дефекта в поперечном сечении, поэтому предел прочности при растяжении приближается к значению идеальной прочности.

Исследования Гриффитса послужили фундаментом для создания нового направления в механике – механике разрушения, которая изучает процессы, приводящие к разрушению тел, находящихся в различных напряженных состояниях.

Сдвиг. Ситуация аналогична уже рассмотренной при условии замены нормального напряжения на касательное напряжение, нормальной деформации на угловую деформацию, модуля Юнга на модуль сдвига . В случае сдвига применение функции (6.1) не ограничивается одним полу периодом, так как при сдвиге атомы (для пластичных тел) последовательно занимают положения устойчивого равновесия. Тогда для оценки идеальной прочности на сдвиг получим

. (6.8)

Р еальный предел прочности при сдвиге (предел текучести) пластичных минералов также будет существенно ниже идеальной прочности. Объяснением этого является наличие дислокаций в кристалле, которые заметно облегчают сдвиговую деформацию (рис. 6.3).

Двигаясь внутри кристалла, дислокации в конечном итоге выходят на поверхность кристалла и не участвуют в процессе деформации. Это приводит к тому, что на графике деформация – напряжения в пластической области кривая напряжений не параллельна оси деформаций, а имеет небольшой подъем. Для реальных горных пород, в той или иной мере, имеет место сочетание механизмов хрупкого и пластического разрушения.