Зачёт по геометрии за 10 класс:

1. Три аксиомы стереометрии:

А1: Через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А2: Если 2 точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в плоскости.

А3: Если 2 различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Два следствия из аксиом:

Следствие из аксиом стереометрии о прямой и не лежащей на ней точке:

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.

Следствие из аксиом стереометрии о двух пересекающихся прямых:

Через 2 пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

2) Взаимное положение прямой и плоскости в пространстве:

- прямая лежит в плоскости

- прямая и плоскость имеют только одну общую точку ( т.е. пересекаются)

- прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки

3) Признак параллельности прямой и плоскости:

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой,

лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

4) Скрещивающиеся прямые:

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат водной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых:

Если одна из 2-ух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

5) Взаимное расположение прямых в пространстве:

- прямые скрещиваются (т.е. не лежат в одной плоскости)

- прямые пересекаются ( т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку)

- прямые параллельны ( т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются)

- прямые совпадают

6) Взаимное расположение плоскостей в пространстве:

- плоскости могут пересекаться по какой-либо прямой;

- плоскости могут быть параллельными, т.е. не иметь общих точек;

- плоскости могут быть перпендикулярными;

- плоскости могут совпадать;

7) Параллельные плоскости- плоскости, которые не имеют общих точек.

Признаки параллельности 2-ух плоскостей:

• 2 плоскости будут параллельны, если 2 пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны 2-ум пересекающимся прямым другой плоскости.

• Если 2 пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

8) Свойства параллельных плоскостей:

• Если 2 параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

• Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны.

9) Тетраэдр - поверхность, составленная из 4-ёх треугольников. (Например, ABC, DAB, DBC, DCA)

Элементы тетраэдра:

• Грани тетраэдра - треугольники, из которых состоит тетраэдр.

• Рёбра тетраэдра - стороны этих самых треугольников.

• Вершины тетраэдра - вершины этих самых треугольников.

• Тетраэдр имеет 4 грани, 6 рёбер и 4 вершины.

• Противоположные рёбра тетраэдра - два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин.

• Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют её основанием, а три другие - боковыми гранями.

10) Параллелепипед - призма, основанием которой служит параллелограмм, или многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.

Элементы параллелепипеда:

• Грани п.- параллелограммы, из которых составлен п.

• Рёбра п.- стороны этих параллелограммов.

• Вершины п.- вершины этих параллелограммов.

• Смежные грани п.- две грани п., имеющие общее ребро.

• Противоположные грани п.- две грани п., не имеющие общих рёбер.

• Противоположные вершины п.- две вершины, не принадлежащие одной грани.

• Диагональ п.- отрезок, соединяющий противоположные вершины.

• Часто выделяют какие-нибудь 2 противоположные грани и называют их основаниями, а остальные - боковыми гранями п. Рёбра п., не принадлежащие основаниям, - боковыми рёбрами.

Свойства параллелепипеда:

• Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

• Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Прямоугольный параллелепипед - параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

- В прямоугольном п. все 6 граней - прямоугольники.

- Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - прямые.

- Квадрат диагонали прямоугольного п. равен сумме квадратов трёх его измерений.

11) Перпендикулярные прямые в пространстве - прямые, угол между которыми равен 90 градусов.

Признак перпендикулярности прямых:

Если две прямые расположены, под прямым углом, то они перпендикулярны.

12) Расстояние от точки до плоскости - длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к данной плоскости.

Расстояние между параллельными плоскостями - расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью - расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.

Расстояние между скрещивающимися прямыми - расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Наклонная - отрезок, соединяющий вершину перпендикуляра с любой точкой плоскости, не совпадающей с нижней вершиной перпендикуляра.

Проекция наклонной - отрезок, соединяющий нижнюю вершину перпендикуляра с концом наклонной, лежащим в данной плоскости.