20) Формулы для вычисления площадей плоских фигур:

Треугольник:

S= 0.5*h*AB

S=0.5*AB*AC*sina

S=корень из( p*(p-a)*(p-b)*(p-c))

S= a*b*c/4*R

S= p*r

S=a*a* корень из (3)/ 4

S прямоуг. треуг.= 0.5*a*b

Параллелограмм:

S=h*AB

S=AB*AD*sina

S=0.5*d1*d2*sin a

Трапеция:

S=0.5*(a+b)*h

S=m*h, где m-средняя линия.

S=0.5*d1*d2*sin a

Ромб:

S=h*AB

S=AB*AD*sina

S=0.5*d1*d2

21) Пирамида- многогранник, составленный из н-угольника А1А2…Ан и н-треугольников.

Определение элементов пирамиды:

• Основание- многоугольник А1А2…Ан.

• Боковая грань- треугольники, из которых составлена п.

• Боковое ребро- отрезки РА1, РА2,…,Ран, соединяющие вершину пирамиды и углы н-угольника.

• Высота п.- перпендикуляр, проведённый из вершины п. к плоскости основания.

• Высота боковой грани- перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды в боковой грани.

• Диагональной сечение- сечение п. проходящее через диагональ п.

22) Правильная пирамида- пирамида, основание которой- правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.

Элементы правильной пирамиды:

• Основание- правильный многоугольник А1А2…Ан.

• Боковая грань- равнобедренные треугольники, из которых составлена п.

• Боковое ребро- равные отрезки РА1, РА2,…,Ран, соединяющие вершину пирамиды и углы н-угольника.

• Высота п.- отрезок, соединяющий вершину п. с центром основания.

• Высота боковой грани- перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды в боковой грани, попадающий на центр противоположного ребра.

• Двугранные углы при основании- углы, образованные боковыми гранями и основанием пирамиды.

S=0.5*P основания*d, где d-апофема. (высота боковой грани)

23) Вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности, если боковые рёбра пирамиды равны или боковые рёбра одинаково наклонены к основанию.

24) Вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности, если апофемы пирамиды равны или апофемы одинаково наклонены к плоскости основания или боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания.

25) Усечённая пирамида- многогранник, гранями которого являются н-угольники А1А2…Ан и В1В2…Вн, расположенные в параллельных плоскостях, и н-четырёхугольников А1А2В1В2, А2А3В2В3, …, АнА1В1Вн. (боковые грани)

Элементы усечённой пирамиды:

• Основания- н -угольники А1А2…Ан и В1В2…Вн, расположенные в параллельных плоскостях.

• Боковые грани- н-четырёхугольники А1А2В1В2, А2А3В2В3, …, АнА1В1Вн, образованные нижним и верхним основаниями.

• Боковые рёбра- отрезки А1В1, А2В2,…, АнВн, расположенные между верхним и нижним основаниями.

• Высота п.- перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания.

• Высота боковой грани- перпендикуляр, проведённый на боковой грани усеч. п.

• Диагональное сечение- сечение п. проходящее через диагональ п.

26) Цилиндрическая поверхность- поверхность, образуемая движением прямой (в каждом своём положении называемой образующей) вдоль кривой (называемой направляющей) так, что прямая постоянно остаётся параллельной своему начальному положению.

Изображение цилиндра и его составляющие (ось, высота, радиус, образующие, основание ц., осевое сечение):

27) Прямой цилиндр- тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Сечения ц.:

1. Сечения, параллельные оси ц. (прямоугольники)

-с., проходящие через ось ц. (осевые с.)

2. С., перпендикулярные оси ц. (круг радиуса, равного радиуса основания)

3. С., проходящие под некоторым углом к оси ц. (эллипсы, параболы, гиперболы)

Sпп=2*П*R*h+2*П*R^2

28) Коническая поверхность- поверхность, образуемая движением прямой (AВ) или образующей, перемещающейся в пространстве так, что она при этом постоянно проходит через неподвижную точку S (вершина конической поверхности) и пересекает данную линию MN (направляющую).

Изображение конуса и его составляющие (ось, высота, радиус, образующие, основание к., осевое сечение):

29) Прямой конус- тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

Сечения конуса:

1. Осевое сечение, сечение проходящее через ось к., представляет собой равнобедренный треугольник.

2. Сечение, перпендикулярное к оси конуса. (круг)

3. С., проходящие под некоторым углом к оси конуса.

Sпп=П*R*L+П*R*R, где L-образующая.

30) Окружность- множество точек плоскости, равноудалённых от одной точки, называемой центром окружности.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.

Элементы окружности и круга:

Центр круга- точка, от которой равноудалены все точки окружности.

Радиус- отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Диаметр окружности – это хорда, походящая через центр окружности.

Хорда окружности – это отрезок, соединяющий две точки окружности.

Круговой сектор — часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла.

Круговой сегмент — общая часть круга и полуплоскости, граница которой содержит хорду этого круга.

Кольцо – часть плоскости, ограниченная двумя окружностями, имеющими общий центр.

Дуга – часть окружности, ограниченная двумя точками.

Длина окружности: C=2*pi*R=2d

Длина дуги: L=(pi*R*n)/180 n-центральный угол

Площадь круга: pi*R^2

Площадь кругового сектора: S=(pi*R^2*a)/360

Площадь кольца: S=pi(R^2-r^2) R,r – внешний и внутренний радиусы.

Площадь кругового сегмента: S=(pi*R^2*a)/360(+/-)S_Δ

S_Δ — площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор. Знак «−» надо брать, когда α<180°, а знак «+», α>180°.

Свойство хорд: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают данную окружность.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Свойства вписанных и центральных углов:

• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

• Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.

• Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

• Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

• Вписанный угол равен половине центрального угла.

31) Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

32) Подобные треугольники – треугольники, у которых углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Коэффициент подобия – число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

• Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.

• Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы.

• Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).  

• Если два треугольника имеют одинаковые основания, то отношение их площадей равно отношению длин высот.

Равновеликие фигуры – это фигуры, имеющие равные площади.  

33) Биссектриса в треугольнике делит противоположные стороны на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Точка пересечения медиан в треугольнике делит их в отношении 2 к 1, считая от вершины.