1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Рассмотрим некоторые правила действий с событиями и их вероятностями. Для этого введем некоторые определения.

Определение 1. Суммой событий А₁, А₂, ... , А_n называется такое событие В = А₁ + А₂ + ... + А_n , которое состоит в том, что произошло хотя бы одно из событий А₁, А₂, ... , А_n.

Если события А и В несовместимы, то А + В - это или А, или В. Если же они совместимы, то А + В это или только А, или только В, или А и В вместе. Например, А - появление 3-х очков, В - появление 6-ти очков при одном бросании игральной кости. Тогда А + В - это появление 3-х или 6-ти очков, то есть появление числа очков кратного трем. Другой пример, из колоды вынимают одну карту, А - это пика, В - это дама, А + В - это или карта пик, но не дама, или дама, но не масти пик, или дама пик (А и В).

Определение 2. Произведением событий А₁, А₂, ... , А_n называется такое событие В = А₁ А₂ ...  А_n или В = А₁ А₂ ... А_n, которое состоит в том, что произошли все события А₁, А₂, ... , А_n одновременно.

Например, игральную кость бросают один раз, А - появление четного числа очков на игральной кости, В - появление числа очков кратного трем, тогда А В ( или просто АВ) - это появление числа очков, которое и четно, и кратно трем одновременно, т.е. АВ - это появление 6-ти очков.

Очевидны следующие свойства:

Если А и В - случайные события, Н - невозможное событие, а D - достоверное событие, то АН = Н, АD = А, А + Н = А, А + В = .

Определение 3. События А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло другое или нет.

Определение 4. Вероятность события А при условии, что В произошло, называется условной вероятностью А при условии, что В произошло. Такая вероятность обозначается или , или .

Определение независимости запишется так

(1.2.1)

Однако, для проверки независимости достаточно проверить одно из равенств или . Если одно из них верно, то верны все равенства (1.2.1). Если же одно из них неверно (автоматически и другое неверно), то равенства (1.2.1) нарушены, и события зависимы.

Например, игральную кость бросают один раз, А - на ней выпало четное число очков, В - на ней число очков кратное трем. Зависимы ли эти события? Очевидно, Если В произошло, т.е. уже известно, что на игральной кости выпало число очков, кратное 3-м, то всего возможных исходов стало 2 ( 3 или 6 очков) из них один исход благоприятен А (6 очков), поэтому Так как P(A / B) = P(A), то события независимы. Отметим, что эти две вероятности определяются по разному числу всех возможных исходов, поэтому интуитивное представление о зависимости или независимости событий может подвести.

Если А и В случайные события и они несовместимы, то они зависимы, т.к. Р(А/В) = 0, а вероятность случайного события Р(А)  0.

Если событий больше двух, то они могут быть независимы попарно, но зависимы в совокупности. Например, имеется 4 карточки, одна покрашена в красный цвет, одна в синий, одна в белый, а одна разделена на три части, покрашенные в разные цвета красный, синий и белый. Наудачу берут одну карточку. А - на ней есть красный цвет, В - на ней есть синий цвет, С - на ней есть белый цвет. Если В произошло, то это либо синяя, либо трехцветная карточка, поэтому Таким образом А и В независимы. Аналогично доказывается независимости А и С и независимость В и С, т.е. события попарно независимы. Однако, если на карточке есть и синий, и белый цвет, т.е. произошло событие ВС, то это трехцветная карточка, на которой есть и красный цвет, т.е. А стало достоверным событием и т.е. А, В и С зависимы в совокупности.

Теперь рассмотрим теоремы о вероятностях суммы и произведения событий.

Теорема 1. (О произведении событий). Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.

(1.2.2)

Эта формула легко обобщается на любое конечное число сомножителей

. (1.2.3)

Следствие. Если события независимы, то вероятность произведения равна произведению вероятностей.

(1.2.4)

Пример 1. Вероятность того, что при бросании двух игральных костей сумма очков равна 12, может быть решена и так. 12 очков может появиться только в том случае, если и на первой кости выпадет 6 очков (событие А), и на второй тоже выпадет 6 очков (событие В). Таким образом, 12 очков это появление одновременно двух событий А и В, т.е. произведения АВ, но так как события независимы, то Р(АВ) = Р(А) Р(В) =

Пример 2. Из колоды в 52 карты последовательно вынимают 3. Какова вероятность, что это «тройка», «семерка» и «туз»? Обозначим А- первая карта «тройка», В - вторая «семерка» и С - третья карта «туз». Нас интересует вероятность события, состоящего в том, что произошли все три события одновременно, т.е. вероятность произведения АВС.

Р(АВС) = Р(А) P(B/A) P(C/AB),

но, очевидно, что Р(А) = Р(B/A) = P(C/AB) = поэтому

P(ABC) =

Пример 3. Теперь нетрудно ответить на вопрос, поставленный в конце предыдущего параграфа, какова вероятность того, что две точки квадрата принадлежат кругу? Очевидно, речь идет о произведении событий и искомая вероятность равна

Теорема 2. (О сумме двух событий). Вероятность суммы двух событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). (1.2.5)

Следствие. Если события несовместимы, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей. Это очевидно, так как для несовместимых событий Р(АВ)=0.

Замечание. Если события несовместимы, то вероятность суммы равна сумме вероятностей для любого конечного числа слагаемых.

(1.2.6)

Теорема 3. (Обобщенная теорема о сумме). Вероятность суммы событий равна 1 без вероятности произведения противоположных событий

(1.2.7)

Пример 4. В приборе имеются 2 элемента, которые выходят из строя в течение испытания с вероятностями 0,3 и 0,4. Какова вероятность того, что за время испытания хотя бы один элемент придется заменить, если они выходят из строя независимо друг от друга?

Обозначим А - первый элемент вышел из строя, В - второй элемент вышел из строя. По условию Р(А) = 0,3 и Р(В) = 0,4.

Нас интересует событие А + В.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)-Р(АВ) = Р(А)+Р(В)-Р(А)Р(В) = 0,3+0,4-0,12 = 0,58.

Пример 5. Производится два независимых выстрела с вероятностями попадания 0,7 и 0,8. Какова вероятность того, что имеет место а) хотя бы одно попадание, в) ровно одно попадание.

Обозначим А - попадание при первом выстреле, В - при втором, С - хотя бы одно попадание, D - ровно одно попадание. Тогда С = А + В,

.

Пример 6. Какова вероятность того, что из трех наудачу взятых карт хотя бы одна - туз.

Обозначим, А - первая карта туз, В - вторая карта туз, С - третья карта туз.

Пример 7. Сколько нужно провести независимых испытаний, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95 быть уверенным, что 6 очков выпадет хотя бы один раз.

Обозначим А_i - событие, состоящее в том, что шесть очков выпало в i-м испытании, а n число всех испытаний. Очевидно, что Р(А_i) = Нужно найти n из условия

или

Используя независимость испытаний, получим

или

Таким образом при 17 испытаниях шесть очков выпадет хотя бы один раз с вероятностью не меньшей 0,95.