1.3. Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Пусть известны вероятности событий Н₁, Н₂, ... , Н_n, составляющих полную группу попарно несовместимых событий и называемых гипотезами, и некоторое случайное событие А имеет различную вероятность, в зависимости от того, какая гипотеза оказалась верна, т.е. известны условные вероятности А в зависимости от того, какое Н_i произошло: Р(A/Н₁), P(A/Н₂), ... , P(A/Н_n).

Тогда безусловная (или полная) вероятность события А находится по формуле

(1.3.1)

Пример 1. На складе имеются изделия трех цехов в отношении 2 : 3 : 5. Первый цех выпускает 90% изделий первого сорта, второй 80% и третий 70%. Какова вероятность, что наудачу взятое со склада изделие первого сорта?

Обозначим А - взятое изделие первого сорта. Об этом изделии можно высказать три гипотезы: Н₁ - оно выпущено первым цехом, Н₂ - вторым и Н₃ - третьим. По условию 2 части всех изделий на складе составляют изделия первого цеха, 3 части - второго и 5 частей - третьего, всего таких частей 10 (2+3+5). Взятая наудачу деталь принадлежит одной из этих 10 частей, т.е. может быть 10 исходов, причем 2 исхода (2 части) благоприятны Н₁, 3 исхода благоприятны Н₂ и 5 исходов благоприятны Н₃, поэтому

Р(Н₁) = 0,2, Р(Н₂) = 0,3 и Р(Н₃) = 0,5.

Пусть на складе n изделий первого цеха, тогда из них первого сорта 90%, т.е. m = 0,9 n. Следовательно, Р(А/H₁) = Аналогично находим, Р(А/Н₂) = 0,8 и Р(А/Н₃) = 0,7. По формуле полной вероятности (1.3.1) получаем Р(А) = 0,2 0,9 + 0,3 0,8 + 0,5 0,7 = 0,77.

Вернемся к началу этого параграфа и представим, что событие А произошло. Мы имеем некоторую новую информацию, повлияла ли она на вероятности гипотез? Т.е. решим задачу уточнения вероятностей гипотез при условии, что А произошло. Для этого нужно найти условные вероятности гипотез, которые находятся по формуле Бейеса

. (1.3.2)

Пример 2. В условиях предыдущего примера ответить на вопрос: какова вероятность того, что взятое со склада первосортное изделие выпущено вторым цехом?

1.4. Независимые испытания. Формула Бернулли

Рассмотрим последовательность независимых испытаний, т.е. таких испытаний, проводящихся последовательно, в каждом из которых может произойти событие А с постоянной вероятностью Р(А) = р. Испытания являются независимыми, так как вероятность события не зависит от номера испытания, и результат каждого следующего испытания не зависит от результатов предыдущих испытаний. Иногда такие последовательности испытаний называются испытаниями по схеме Бернулли. Обозначим вероятность противоположного события Р( ) = 1 - р = q (p и q это стандартное обозначение вероятностей взаимно противоположных событий, p + q = 1). Формула Бернулли позволяет найти вероятность того, что в последовательности n независимых испытаний событие А произойдет ровно k раз. Такая вероятность обозначается или

(1.4.1)

Пример 1. Найти вероятность того, что при 5 подбрасываниях игральной кости 6 очков выпадет 3 раза.

Очевидно, n = 5, k = 3, p = , q = 1 - и по формуле Бернулли (1.4.1) получим

Пример 2. Прибор при каждом включении может дать сбой с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что при 6 включениях произойдет не более двух сбоев?

В этом случае n = 6, p = 0,1, q = 0,9 и k = 0, или 1, или 2, поэтому

Пример 3. Какова вероятность того, что при 6-ти подбрасываниях игральной кости 6 очков выпадет не менее 2-х раз?

Убедитесь сами, что k = 2, или 3, или 4, или 5, или 6 и k = 0 или 1 - противоположные события.

Таким образом, искомая вероятность