Лабораторная работа № 6 Аппроксимация опытных данных
Порядок выполнения работы
Работа выполняется в несколько этапов:
а) для получения задания обратитесь к преподавателю или нажмите кнопку ВАРИАНТ;
б) в ПОЛЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ (голубые ячейки диапазона A235:M137) внесите расчётные формулы метода;
в) в ПОЛЕ ОТВЕТОВ (ячейки диапазона E9:E11) внесите формулы, ссылающиеся на адреса из ПОЛЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ, содержащие решение задачи;
г) для проверки правильности выполнения работы нажмите кнопку РЕЗУЛЬТАТЫ.
Метод наименьших квадратов
Теоретические основы метода
Пусть имеется набор опытных данных
,
i=1,2,…,n,
связанных линейной зависимостью
. (6.1)
Причём между
значениями
существует стохастическая (случайная)
связь. В этом случае не все опытные точки
будут принадлежать графику зависимости
(6.1), называемой уравнением линейной
регрессии.
Необходимо по опытным данным определить параметры a и b зависимости (6.1).
В качестве меры близости опытных точек и теоретических значений, принадлежащих прямой (6.1), выберем сумму квадратов отклонений теоретических и опытных точек
.
(6.2)
Очевидно, что чем меньше сумма (6.2), тем ближе опытные точки и теоретическая прямая (6.1).
Положение прямой (6.1) на плоскости определяется коэффициентами a и b. Сумма (6.2) зависит от положения прямой на плоскости. Следовательно, она функционально зависит от a и b, т.е.
.
Верхний индекс в последней формуле означает, что величина теоретическая.
Подставляя соотношение (1) в (2), получим:
.
Здесь a, b - аргументы; xi, yi - заданные числа.
Функция двух переменных может достичь свой локальный экстремум в точке, в которой обе частные производные обращаются в нуль одновременно:
(6.3)
Вычислим левые части уравнений системы (6.3):
,
т.е.
(6.4)
В системе (6.4) b могут быть вычислены все суммы по данным опытным точкам. Решение системы (6.4) имеет вид
где
Под коэффициентом корреляции r понимают число, которое характеризует степень взаимозависимости переменных x и y. Коэффициент корреляции вычисляется по формуле
.
Если r =
1, то имеется функциональная
зависимость, все опытные точки лежат
на прямой регрессии. Если r
= 0, то переменные x
и y
называют некоррелированными
(независимые величины). Переменные x
и y тем сильнее коррелированы
(взаимозависимы), чем ближе значение
к единице.
В рассмотренном выше методе изначально предполагалось, что связь между наборами x и y линейная. Если же из каких-либо соображений на практике наблюдается нелинейная зависимость, то данным методом можно определить параметры этой зависимости.
Библиографический список
1. |
Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1968. |
2. |
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики, М.: Наука, 1970. |
3. |
Закс Л. Статистическое оценивание. М.: Статистика, 1976. |
4. |
Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию). М.: Наука, 1977. |
5. |
Воробьёва Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по численным методам. М.: Высшая школа, 1979. |