- •Лабораторная работа № 1 Численное решение нелинейных уравнений
- •Общие теоретические основы методов
- •Метод дихотомии Теоретические основы метода
- •2. Сохраняет знак в [a, b].
- •Комбинированный метод хорд и касательных Теоретические основы метода
- •2. Сохраняет знак в [a, b].
- •3. Сохраняет знак в [a, b].
- •Метод итераций Теоретические основы метода
- •Лабораторная работа № 2 Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Лабораторная работа № 3 Итерационные методы решения слау
- •Метод итераций для решения слау
- •Лабораторная работа № 4 Приближенные методы вычисления определенных интегралов
- •Лабораторная работа № 5 Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
- •Лабораторная работа № 6 Аппроксимация опытных данных
Комбинированный метод хорд и касательных Теоретические основы метода
1. Метод хорд.
Пусть дано уравнение (1.1). Необходимо определить приближенный корень с заранее заданной точностью .
Будем считать, что корни отделены, т.е. определен отрезок (отрезки), содержащий строго один корень. При этом выполнены условия отделимости.
1. f(a) f(b)<0.
2. Сохраняет знак в [a, b].
Всегда можно предположить, что выполняется третье условие отделимости, а именно:
3. Сохраняет знак в [a, b].
Действительно, пусть третье условие не выполнено в [a, b]. Тогда, если f(х) непрерывна в [a, b], внутри [a, b] существует хотя бы одна точка перегиба. Обозначим эту точку x0, тогда получим пару отрезков [a, x0] и [x0, b], для каждого из которых выполняется второе условие отделимости. Поэтому для дальнейшего исследования выберем отрезок, который содержит в себе точный корень, а именно тот, для которого выполняется первое условие. Аналогичная ситуация, когда внутри [a, b] содержится более одной точки перегиба. В дальнейшем предполагаем, что внутри [a, b] выполнены все три условия отделимости.
У равнению (11.) поставим в соответствие функцию y = f(x) и предположим, что график функции имеет вид, представленный на рис.1.1. В точках x=a и x=b восстановим перпендикуляры до пересечения с графиком функции. В результате получим точки M(a, f(a)) и N(b, f(b)). Через точки M и N проведем хорду (отрезок прямой) и в качестве первого приближения примем абсциссу x1 точки пересечения хорды и оси ОХ. Заметим, что при этом ордината точки пересечения равна нулю. Вычислим приближение x1. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, имеет вид:
.
Для точки пересечения хорды с осью ОХ имеем y=0, тогда
,
откуда
.
В точке x1 восстановим перпендикуляр до пересечения с графиком функции. В результате получим точку M1(x1, f(x1)). Через точки M1 и N проведем хорду и в качестве второго приближения примем абсциссу точки пересечения хорды и оси ОХ. Вычислим x2. Уравнение прямой, проходящей через точки M1 и N, имеет вид:
.
Тогда для точки пересечения получим:
,
откуда
.
Рассуждая аналогично на шаге с номером n, найдём
. (1.2)
Получили расчетную формулу метода хорд с неподвижной правой границей b.
Последнее соотношение позволяет построить числовую последовательность приближений x1, x2, …, xn, …, предел которой при неограниченном увеличении n стремятся к точному корню, оставаясь в рассматриваемом случае слева от него.
2. Метод касательных
К графику функции y = f(x) в точке N (Рис.1.2) проведем касательную и в качестве первого приближения выберем абсциссу точки пересечения касательной с осью ОХ, которая имеет координаты (x1, 0).
У равнение касательной имеет вид:
.
Тогда для точки пересечения с осью ОХ имеем
,
откуда
.
Рис.1.2 В x1 восстановим перпендикуляр до пересечения с графиком функции, которую обозначим N1. Через N1(x1, f(x1)) проведем касательную к графику функции и в качестве второго приближения примем абсциссу точки пересечения касательной с осью ОХ. Имеем: . Учитывая, что ордината точки пересечения с осью ОХ равна нулю, найдем x2:
;
.
Рассуждая аналогично, на шаге n получим
. (1.3)
Соотношение (1.3) является расчетной формулой метода касательных и позволяет найти последовательность приближений x1, x2, …, xn, …, предел которой при неограниченном увеличении n стремятся к точному корню, оставаясь в рассматриваемом случае справа от него.
3. Комбинированный метод хорд и касательных
Заметим, что в соотношении (1.2) правая граница остается неподвижной. Суть комбинированного метода хорд и касательных заключается в том, что на каждом шаге (итерации) вычисляются два приближения: одно - по методу касательных, второе - по методу хорд. Причем неподвижная граница метода хорд на каждом шаге заменяется найденным приближением по методу касательных. Замена неподвижного узла в методе хорд на подвижный значительно уменьшает время сходимости процесса вычислений к точному корню.
Расчетные формулы комбинированного метода имеют вид:
;
.
В приведённых формулах приближения, вычисленные по методу касательных, подчёркнуты сверху.
Заметим, что на каждом шаге точный корень всегда будет содержаться в отрезке . Процесс вычислений следует прекратить при выполнении неравенства
и в качестве решения задачи выбрать любую точку из отрезка .
В рассматриваемом случае метод касательных начинается с правой границы, однако он может стартовать и с левой границы. Для определения границы начала метода касательных следует вычислить два произведения: и и в качестве точки старта выбрать ту границу, для которой данное произведение больше нуля. Приведенные формулы были выведены при условии, что внутри отрезка [a, b] производные положительны. В случае, если характер монотонности и выпуклости графика функции иной, чем указанный выше, то расчетные формулы метода следует вывести вновь.