2. Числова послідовність та її границя. Основні властивості границі. Границя обмеженої монотонної послідовності. Число е.
Означення.
Числова функція
,
область визначення якої є множина
натурального ряду чисел, називається
числовою
послідовністю,
або просто послідовністю, і позначається
,
надалі писатимемо
Значення
називаються членами
послідовності.
Послідовність вважається заданою, якщо
задано n-й
член послідовності.
Озн1.
Число
а наз.гран-ю посл-ті xn
,якщо
(
)
a=lim xn
,n→∞.
Озн2.Для кожного ε околу т. а всі ел-ти даної посл-ті почин.з деякого номеру попадають в цей окіл.
Озн3. Посл-ть,яка має скінч.гран-ю наз.збіжною посл-ю.
Властивості границі: 1) Якщо гран-я посл-ті існує,то вона єдина. 2)Кожна збіжна посл-ть є обмеженою(але не кожна обмежена посл-ть є збіжною). 3) Якщо уся посл. має гран-ю ч-ло а, то кожна її підпосл. має гран. це ч-ло.
Озн4. Посл-ть, яка склад. з однакових ел-ів наз. стаціонарною посл-тю.
Озн5. Посл-ть, для якої, почин.з деякого номеру,всі ел-ти стають однаковими наз.посл-тю,яка стабілізується.
3) Якщо посл-ть xn є стац-ою,причому всі її ел-ти співпадають з числом а, то вона є збіжною до цього числа. 4)Якщо посл-ть xn стабіл-ся, причому всі ел-ти почин.з деякого номера співпадають,то дана посл-ть є збіжною до а. 5) Якщо посл-ть xn є збіжною до числа а, (xn →а, n→∞),то кожна її підпосл-ть Хnk теж прямує до а. 6) Нехай xn →а, а≠0.Нехай серед ел-ів цієї посл-ті 0 теж не зустріч.Тоді посл-ть обернених величин 1/ xn є обмеженою.
Озн6. Посл-ть, яка є збіжною до 0 наз. нескінч. малою
Власт.н.м.посл-ей: 1) Для того,щоб дана посл-ть xn мала гра-ю а, необх.і дост.,щоб ел-ти даної посл-ті відрізнялись від самого числа а,на деяку н.м. 2) Сума двох н.м.теж є н.м. 3) Добуток н.м.посл-ті на обмежену посл-ть є н.м. посл-тю.Наслідок: Добуток двох н.м.теж є н.м.
Т-ма Вейерштрасса про монот.посл-ть.
Якщо числова посл-ть xn є одночасно монот.та обмеженою, то вона є збіжною.
Д-ня. Розгл. випадок, коли посл-ть xn є зрост.в широкому розумінні.(для xn спадної аналог.).Оскільки вона обмежена, то існує верхня межа і верхня грань.β=sup xn Дов-мо, що саме β є гран-ю, і xn є збіжною саме до цього числа. Розгл. .За 2-ю власт.супремума.існує хоча б один ел-т нашої мн.,який є > чим β- ε, познач.ч/з Хn0 . β- ε< Хn0
Отже всі ел-ти для яких номер є > ніж Хn0 будуть знаход.між Хn0 і β. Хn0 ≤ Хn ≤β → |Хn -β |< ε.
Отже,почин.з деякого номеру всі ел-ти посл-ті Хn попадають в ε окіл числа β.Це означ.,що β є гран-ю посл-ті. Дов-но.
Розгл.таку числову посл-ть: Хn=(1+1/n)n
Згідно формули бінома Ньютона 1)Ця посл-ть є монот.зрост. 2) Вона обмежена.Ці дві власт.можна обґрунтувати і заст.т-му Вейєрштр.про монот.посл-ть.Тоді ці посл-ть повина мати гран-ю.Для цієї гран-ці існує спец.познач.-е.
Озн7. Числом е наз.гра-я, коли n→∞
е=lim(1+1/n)n ,при n→∞ (1)
Т. Больцано-Вейєрштрасса: З кожної обмеж. посл-сті мож. виділ. хоча б одну збіжну підпосл.
3. Дійсна функція дійсної змінної. Границя функції дійсної змінної у точці. Властивості границь.
Озн. Якщо кожному значенню невідомої х із множини Х ставиться у відповідність, за деяким законом f, значення у із множини У, тоді кажуть, що на множині Х задано функцію y=f(x).
Озн2.(за
Коші)
Число b
наз.гран-ю.
ф-ції f(x), x→a(x0
),
якщо
(1)
З (1)
маємо: f(x):
limf(x)=b,
x →x0
Озн2.(за Гейне) Число b наз.гран-ю. ф-ції f(x), x →x0 , якщо кожній посл-ті значень аргумента limf(x)=b, x →x0 якщо для будь-якого xn ,з того що вона прямує до x0 ,але відрізн.від самого числа, xn→x0 , xn ≠ x0, відповідає посл-ть значень ф-ції f(xn ) → b
Т-ма про рівносильність
Озн-ня гра-ці ф-ції за Коші і за Гейне є рівнос-ми між собою.
Д-ня: I.Припуст.,що число b є гран-ю.ф-ції за Коші.Треба д-ти,що число b є гран-ю.ф-ції за Гейне.
Отже,для довіл. ε >0, можна знайти відпов.δ >0.так як в озн-ні за Коші.Розгл. посл-ть xn, xn→x0, але xn ≠ x0 Оскільки xn→x0 ,то почин.з деякого номера ел-ти посл-ті xn попадуть в δ окіл т. x0. Причому не в його середину.Отже,якщо n>n0 ,то , |xn-x0 | < δ, 0<|xn-x0 | < δ. Згідно з тим, що є для Коші, то |f(xn)-b|< ε.Почин.з деякого номера посл-ть f(xn) попаде в ε-окіл т. b, отже f(xn) → b. Т-ма викон.
II. Число b є гран-ю.ф-ції за Гейне.Треба д-ти,що число b є гран-ю.ф-ції за Коші.
Припуст.,що число не є гран-ю за Коші.Принципи побудови заперечення до вислову такі: 1)квантор загал-ті замін.квант.існування і навпаки. 2) ост.нер-ть замін.протилеж.за змістом. Отже, запишемо оз-ня Коші, у кванторах, навпаки:
:
xn
≠
x0
маємо:
f(x):
Посл-ть xn→x0 ,бо |xn-x0 |<1/n. f(xn) не прямує до b, бо модуль різниці не прямує до 0. |f(xn)-b|≥ ε. Число b не може бути гран-ю.ф-ції за Гейне,тому що деяка посл-ть →x0 ,але відп значень(xn) не прямує до b.
Т-ма (про першу чудову гран-ю)
Гран-я, коли x→0, lim sinx/x=1, x→0,1-ша чудова гра-я.
Для гра-ць ф-ції мають місце подібні власт.,які для гра-ць посл-ті. Властивості:
1) Якщо ф-ція f(x) має в т. x0 гран-ю, то ця гран-я єдина.
2) Якщо ф-ція f(x) має в т. x0 скінч.гран-ю, то ф-ція f(x) є в т. x0 локально обмеженою. Це означає,що існує ε-окіл точки,в якому ф-ція f(x) є обмеженою.
3) Якщо ф-ція f(x) є локально сталою, тобто є сталою в деякому околі т. x0 , то її гра-я в цій точці ціснує і = відповідній сталій.
4)Якщо в т. x0 кожна з двох ф-цій f(x) та g(x) має скінч.гра-ці, то їх сума, добуток і частка(якщо знам.не=0) теж мають скінч.гра-ці. Причому гра-я суми =сумі гра-ць.
lim(f(x) + g(x))=lim (f(x)) +lim (g(x)), при x →x0
lim(f(x) * g(x))=lim (f(x)) *lim (g(x)), при x →x0
lim(f(x) /g(x))=lim (f(x))/lim (g(x)), при x →x0