7. Частинні похідні функції кількох змінних. Диференційовність та диференціал функції кількох змінних. Необхідна і достатня умова диференційовності.

Озн. Якщо існують скінченні границі ; , то їх називають частинними похідними функції z = f(x, y) у точці відповідно за змінними х і у та позначають: , або , . (Символ «» — так зване «де» кругле — вперше застосував Якобі.) Частковий приріст по змінній х: ∆_хf=f(х₀+∆х,y₀)-f(х₀, y₀). Повний приріст: ∆f=f(х₀+∆х,y₀+∆у)-f(х₀, y₀).

Озн. Функція називається диференційовною в точці , якщо її повний приріст можна подати у вигляді: де А, В — деякі числа; ,  — нескінченно малі при , , тобто як сума лін. частини приросту і н. м. більш високого порядку, ніж ∆х, ∆у. Головна лінійна частина приросту функції, тобто , називається повним диференціалом функції (точніше — першим диференціалом) у точці ; позначається або Таким чином, (1) Диференціалом незалежної змінної x або y називають її приріст, тобто за означенням беруть ,

Якщо функція f диференційовна в кожній точці множини , то її називають диференційовною на множині D.

Отже, у кожній точці, де виконується рівність (1), повний диференціал функції обчислюється за формулою (2)

Необхідні умови диференційовності: 1. Якщо ф-я є диф-ною, то вона є неперервною. 2. Якщо ф-я є диф-ною в даній т. (х₀,у₀), то в цій точці існують скінченні част. похідні 1-го порядку по всіх незал. змінних.

Т. про дост. умови диф-ності: Нехай для даної т. (х₀,у₀) існує такий окіл, в якому ч. пох. 1-го пор. не лише існують, а ще й неперервні, тоді в точці (х₀,у₀) f є диференційовною.

Дов.: Розгл. ∆f=f(х₀+∆х,y₀+∆у)-f(х₀, y₀)=[f(х₀+∆х,y₀+∆у)-f(х₀,y₀+∆у)]+[f(х₀, y₀+∆у)-f(х₀, y₀)]. За теор. Лагранжа 0<Ө₁<1, 0<Ө₂<1 =f'_x(x₀+Ө₁∆х,y₀+∆у)∆х+f'_y(x₀,y₀+Ө₂∆у)∆y=(f'_x(x₀,y₀)+α(∆х,∆у))∆х+(f'_y(x₀,y₀)+β(∆х,∆у))∆y. Розкривши дужки, отримавши доданки і перегрупувавши їх одержимо запис ∆f у належному вигляді. Отже функція диференційовна.

Аналогічно визначають і позначають частинні похідні трьох і більше змінних.

8. Основні теореми диференціального числення. Теореми Ролля, Лагранжа, Коші, формула Тейлора.

Теорема Ролля: Якщо функція y=f(x) задовольняє умови: 1) неперервна на [a;b] , 2) диференційована в інтервалі (a;b), на кінцях відрізка має однакові значення f(a)=f(b), то в інтервалі (a;b) існує точка в якій похідна ф-ції = 0.

Теорема Лагранжа: Якщо функція y=f(x) неперервна на [a;b], і диференційована в інтервалі (a;b), то в цьому інтервалі існую точка c така, що виконується рівність (Фомула Лагранжа).

Теорема Коші. Якщо функції f(x) i g(x) – неперервні на [a;b], і диференційована в інтервалі (a;b), і для , то в цьому інтервалі існує точка с, така, що: .

Дов. φ(х)=f(x)-λg(x), λ- сталий множник. φ(х)– неперервні на [a;b] і диференційована в інтервалі (a;b). Підберемо λ так, щоб на кінцях відрізка виконувались умови теореми Ролля. f(а)-λg(а)=f(в)-λg(в)=>λ= . З теор. Ролля: між а і в знайдеться принаймні одна така точка с, для якої φ'(с)=0. φ'(с)=f'(c)-λg'(c)=0. λ= . Доведено.

Формула Тейлора: Нехай функція в точці і в деякому її околі має похідні - го порядку включно. Нехай також деяка точка, що належить околу, про який йде мова. Тоді існує точка , яка лежить між точками і _х, така, що . (для кожного х з цього околу значення функції може бути запис. як сума тейлорівського многочлена і залишкового доданку.)