19. Числові ряди. Геометрична прогнесія та гармонійний ряд. Властивості збіжних рядів.

Озн. Вираз вигляду , де наз. числовим рядом.

- називається n-частинною (частоковою) сумою ряду (S_n).

Озн. Якщо послідовність часткових сум ряду збіжна, то ряд називається збіжним, а границя послідовності частинних сум – називається сумою ряду. - то ряд збіжний, а S – сума ряду ( ). Якщо послідовність частинних сум розбіжна або її границя – нескінченність, то ряд називається розбіжним.

Озн. Ряд вигляду , де – називається геометричною прогресією.

Відпов. геом. ряд є збіж. тоді і тільки тоді, коли |q|<1. В цьому вип. мож. напис. ф-лу для суми геом. ряду: S=a₁/(1-q).

Озн. Ряд вигляду – називається гармонійним рядом.

Т1: (необх. умова збіжності) Якщо числовий ряд збіжний, то його загальний доданок прямує до нуля.

Дов. Нех. ряд є збіжним. . Тоді S_n-1S_, S_n-S_n-10. отже, а_n0. довед.

Т2: Гармонійний ряд - розбіжний.

Необх. умова виконується, достатня – ні.

Дов.: Розгл. такі часткові суми гарм. ряду, для яких к-сть доданків є степенем числа 2. Розгл. підпосл. посл-сті частк. сум. Якщо виявиться, що ця підпосл. є розбіжною, то уся посл-сть буде розбіжною.

S₁, S₂, S₄, S₈, S₁₆, S₃₂,…

S₁=1=2/2, S₂=1+1/2=3/2, S₄=1+1/2+1/3+1/4=S₂+1/3+1/4>S₂+1/4+1/4>4/2, S₄>4/2, S₈=S₄+1/5+1/6+1/7+1/8>S₄+4/8, S₈>5/2, S₁₆>6/2. Посл. розб. довед.

Властивості збіжних рядів:

1. Сума 2-х зб. рядів є зб. ряд

2. Якщо зб. ряд помнож. на сталий множник, то отрим. зб. ряд.

3. Залишок зб. ряду 0. Залишок – сума доданків, починаючи з р+1.

, коли р∞.

20. Додатні ряди. Основні ознаки збіжності додатних рядів. Ряди з довільнии членами . Абсолютно й умовно збіжні ряди.

Озн.: Даний числ. ряд наз. додатнім рядом, якщо для кожного n, a_n- заг. доданок, a_n – невідємне. Ряд наз. строго додатнім, якщо для будь-якого n, a_n>0.

Т. 1: (ознака збіжності) Для того, щоб додат. ряд був зб., н і д., щоб посл-сть його частк. сум була обмеженою.

Дов.: якщо розгл. S_n, то вона монот. За теор. Вейєрштрасса довед.

Т.2: Про першу ознаку порівняння дод. рядів. Нех. є 2 числ. дод. ряда, при чому другий ряд має більші доданки, ніж перший. Тоді, якщо є зб. другий ряд, то перший тим паче.

Т.3: Про ознаку зб-сті Даламбера Нех. даний числ. ряд є строго додатним і нех. , тоді, якщо q<1, то наш ряд э збіжним, якщо q>1, то ряд є розбіж.

Дов.: І вип. q<1

Розгл. деяке число q₁ , що знах. між q і 1 . q, тому починаючи з деякого номера n>n₀ ця частка буде лівіше q_1, менше q1. Коли n>n₀ <q_1, <q_{1, … ,} <q_1. К-сть нерівностей: р-n_0. Всі нерівності перемножимо. , . (1); (2). Тоді доданки (1), почин. з деякого номера стають менші, ніж доданки (2), (2) – геом. ряд, він зб., його знаменник q₁<1 . На основі ознак порівняння – (1) збіж.

ІІ вип. q>1 . Тоді, почин. з деякого номера, частка стає >1. Кожен наступний доданок не 0. Не викон. необх. умова зб-сті. Довед.

Т. 4: Ознака зб-сті Коші. Якщо усі члени числ. ряду невідємні u_n 0, nЄN і існує границя кореня n-го степеня загального члена ряду , то ряд збіжний, якщо К<1, ряд розбіжний, якщо К>1 і якщо К=1, то ряд може бути збіжним, а може і розбіж. (ознака не спрацьовує).

Знакозмінні ряди - є додатні і відємні члени.

Даний знакозмі. ряд наз. абсолютно збіж., якщо є збіж. ряд, складений із модулів його доданків.

Даний знакозм. ряд наз. умовно збіж., якщо сам він є збіж, а ряд, склад. з модулів його доданків не є збіж.

Властивості: 1. Т. Лейбніца: якщо ряд знакочерговий (+-+-), а ряд із модулів заг. доданка є монот. спад. і 0, то такий ряд є збіж.

Пр. 1-1/2+1/3-1/4+…1/n – монот. спад. і 0. Отже, ряд збіж . Збіжність умовна.

2. Т. про переставну вл-сть абс. збіжного ряду: Якщо даний числ. ряд є абс. зб., то при перестановці доданків одерж. ряд знову збіжний із такою ж сумою.

3. Т. Рімана про умов. зб. ряди: Якщо даний числ. ряд є зб. лише умовно, то для дійс. числа а можна так переставити доданки нашого ряду, що сума ряду з переставленими доданками буде =а.

Пр. Σ 1-1/2+1/3-1/4+…=ln2,

1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4-1/6+…=3/2ln2,

1-1/2-1/4+1/3-1/6-1/8+…=1/2ln2.