2.2.5. Теорема Котельникова для сигналов, имеющих ограниченный спектр (полосовой спектр, помещающийся в полосе определенных частот).

Рис 5

Рис 6

Радиосигналы (промодулирована низкочастотными колебаниями)

Рис 7

Спектр высокочастотный, т.к. график начинается не из 0.

Если задана функция времени спектром в полосе частот , где (высокочастотная), то она представима своими отсчетами, взятыми через интервал . При этом в каждой точке отсчета необходимо подсчитать значения и амплитуды, и фазы сигнала.

Если то количество отсчетов .

Поскольку мы берем отсчеты амплитуды и фазы, то количество отсчетов равно .

Таким образом, непрерывная функция , имеющая спектр в полосе , представляется с помощью такого же количества отсчетов, что и произвольная функция из теоремы Котельникова.

Доказательство этого утверждения аналогично уже проведенного нами для сигнала, имеющего полосу от 0 до .

Результатом такого доказательства будет Ряд Котельникова для высокочастотного сигнала.

где – значение амплитуды огибающей высокочастотного сигнала в k-той точке отсчета,

– значение фазы высокочастотного сигнала в k-той точке отсчета,

- среднее значение круговой частоты, определяемое граничными значениями спектра сигнала:

Для определения отсчетных значений и целесообразно представить значение амплитуды и фазы в виде непрерывных функций времени и , а затем производить дискретные отсчеты через промежутки времени .

Формула 1:

Где синус – огибающая, а косинус – несущая.

Рис 8

Амплитуда функции отсчета задается первым множителем, огибающей. Ее вид аналогичен виду функции отсчетов низкочастотного сигнала.

Множитель характеризует высокочастотный характер функции отсчета и определяется средней круговой частотой, фазой и смещен на время , т.е. в точку отсчета.

Из последнего рисунка видно, что ширина основного лепестка функции отсчетов одинакова для всех моментов отсчета и равна .

Поскольку любое колебание с полосой частот определяется суммой функции отсчетов с шириной огибающей , следовательно, любая функция времени с таким спектром будет иметь самые короткие выбросы примерно такой же длительности.

Так например, если - шумовое напряжение с полосой , то оно может иметь наиболее короткие выбросы с длительностью приблизительно равной .

Рис 9

Рис 10

3. Аналого-цифровое преобразование.

3.1. Оцифровка.

Итак, аналоговый сигнал необходимо преобразовать в поток двоичных слов, соответствующих моментом взятия выборок t.

Рис 11

Эти отсчеты (двоичные слова, соответствующие им) поступают на вход процессора параллельно, т.е. в виде одного полного слова на каждую выборку.

При оцифровке в последовательность чисел вносятся ошибки и искажения. Эти ошибки возникают по нескольким причинам:

- есть погрешность взятия отсчетов

- возникает амплитудная погрешность , погрешность, которая тем больше, чем круче функция.

В действительности меняется в пределах полосы, ограниченной _._._

определяется следующими составляющими:

- ошибка квантования;

- погрешность АЦП;

- погрешность в задании точек (отбора выбора);

- погрешность, возникающая при взятии выборки.