2. Доказать неравенство треугольника.
Теорема о неравенстве треугольника: Во всяком треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других его сторон, но больше их разности.
Д
ано:
АВС:
ВС = а; АВ = с; АС = b.
Доказать:
Доказательство:
1. Дополнительное построение:
а) На продолжении стороны АС отложим отрезок CD = BC.
б) Соединим точки B и D.
2. Рассмотрим вcd:
а) BC = CD (по построению) BCD – равнобедренный CBD = CDB (углы при основании).
б) АBD = ABC + CBD > CDB AD > AB.
3. AD = AC + CD AC + CD > AB.
4. AC = AD – CD AD – CD < AB.
Следствие
1. Для любых точек А, В и С, не лежащих
на одной прямой, имеют место
неравенства:
Следствие 2. Во всяком многоугольнике каждая сторона меньше суммы всех других сторон.
Следствие
3. Если для трех точек А, В, С
выполняется равенство:
то эти точки лежат на одной прямо
прямой, причем точка В лежит между
точками А и С.
Билет № 25.
1. Что означают слова «фигура состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством? Определение геометрического места точек (ГМТ). Привести примеры. Алгоритм решения задач на построение методом ГМТ.
Пусть геометрическая фигура имеет характерное свойство, определяющее, какие точки принадлежат фигуре. Тогда про эту фигуру говорят, что она является множеством точек, обладающих данным свойством (или геометрическим местом точек, обладающих данным свойством).
Определение 1. Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством.
Примеры:
1) Окружность – это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.
2) Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
3) Серединный перпендикуляр к отрезку – это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка.
Сущность метода геометрических мест точек, используемого при решении задач на построение, заключается в следующем. Пусть, решая задачу на построение, необходимо найти точку А, удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура F1, а геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура F2. Искомая точка, удовлетворяет обоим условиям, т. е. принадлежит обеим фигурам, а значит, является точкой их пересечения.
2 Определение вертикальных углов. Доказать свойство.
Определение 1. Два угла называются вертикальными, если стороны одного из них являются продолжениями сторон другого.
Т
еорема
1. Биссектрисы вертикальных углов
лежат на
одной прямой.
Дано: AOB, COD – вертикальные;
OK – биссектриса AOB;
ON – биссектриса COD.
Доказать: N KO.
Доказательство:
1. AOB = COD (вертикальные).
2. AOK = KOB = 0,5AOB по определению биссектрисы.
3. СON = NOD = 0,5COD по определению биссектрисы.
4. AOB = COD AOK = NOD.