1. Пусть а1в2с2 – треугольник, равный треугольнику авс,
с вершиной В2 на луче А1В1 и вершиной С2 в той же по
луплоскости относительно прямой А1В1, где лежит вершина С1.
2. Так как А1В1 = А1В2, то вершина В2 совпадает с вершиной В1.
3. Так как В1А1С1 = В1А1С2 и А1В1С1 = А1В1С2, то луч А1С2 совпадает с лучом А1С1, а луч В1С2 совпадает с лучом В1С1.
4. Отсюда следует, что вершина с2 совпадает с вершиной с1.
5. Треугольник а1в1с1 совпадает с треугольником а1в2с2, а значит, равен треугольнику авс.
Определение. Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.
Аксиома параллельных прямых: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Признаки параллельности прямых.
Теорема 1. Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство: Пусть при пересечении прямых a и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы равны. Докажем, что aIIb.
1)
2)
Проведем
через середину отрезка АВ. На прямой
b от точки В отложим отрезок BH1 = AH.
Проведем отрезок ОH1.
3) Рассмотрим ∆aho и ∆bh1o.
АО=ОВ (по постр)
ОАН = ОВН1 (по услов)=
НА=Н1В(по постр)
ОАН = ОВН1 (по 1му призн)
4)
Из
5)
Из
6)
Из
7)
Т
еорема
2. Если при пересечении двух прямых
третьей соответственные углы равны,
то прямые параллельны.
Дано:
Доказать:
Доказательство:
1)
2) И являются внутренними накрест лежащими
Теорема 3. Если при пересечении двух прямых третьей сумма односторонних углов равна 180, то прямые параллельны.
Дано:
Доказать:
Доказательство:
1)
2) И являются внутренними накрест лежащими
Теорема 4Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
Дано: aс, b.с доказать, что аIIв
Допустим что а не паралл в, значит они пересекаются в т А. значит через т А к прямой опущены два перпендикуляра к прямой, что противоречит теореме о единственности прямой перпендикулярной данной .
Теорема 4 Две прямые параллельные третьей, параллельны друг другу.
aIIb., сIIb.
Билет 17
Опр 1. Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.
Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья сторона – основанием. Общая вершина двух равных (боковых) сторон называется вершиной равнобедренного треугольника.
Определение 2. Равносторонним (или правильным) называется треугольник, у которого все стороны равны.
Теорема 1 (о свойстве углов равнобедренного треугольника). Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Д
ано:
∆АВС; АВ = ВС. Доказать: А
= С.
Доказательство:
1. Дополнительное построение. Проведем отрезок bd – биссектрису авс.
2. ABD = DBC = (по св-ву биссектрисы).
4. Из ∆ABD = ∆DBC A = C.
Теорема 2 (о свойстве углов равностороннего треугольника). Все углы равностороннего треугольника равны 60.
Дано: ∆АВС; АВ = ВС = АС.
Доказать: А = В = С.
Доказательство:
1. АВ = ВС АВС – равнобедренный А = С (углы при основании равнобедренного треугольника).
2. АВ = АС АВС – равнобедренный В = С (углы при основании равнобедренного треугольника).
3. A = B = C.
4. По теореме о сумме внутренних углов треугольника A + B + C = 180.
3A = 180. A = B = C = 60.
1. Пусть А = С ∆АВС – равнобедренный = ВС = АВ.
2. Пусть А = В ∆АВС – равнобедренный = ВС = АС.
3. АВ = ВС = АС. ∆АВС – равносторонний.
2.Теорема 1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Дано: а II b; c – секущая. Доказать: 1 = 2.
Доказательство:
1) Допустим, что 1 2. Отложим от луча MN PMN =2 так, чтобы углы 2 и PMN были накрест лежащими углами при MP II b и секущей MN.
2) По построению PMN =2 РМ II b по признаку параллельности прямых.
3) Получено: через точку М проведены две прямые (а и РМ), параллельные прямой b, что невозможно, так как противоречит аксиоме параллельных прямых.
4) Допущение неверно. 1 = 2.
Билет 18
Пусть имеются две прямые а и b, а также прямая с, пересекающая прямые а и b в точках А и В соответственно. Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и b.
При пересечении двух прямых третьей (секущей) образуются пары углов:
и 4, 2 и 3, 5 и 8, 6 и 7 – вертикальные. Два угла, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого, называются вертикальными. Вертикальные углы равны.
1и 2, 2 и 4, 1 и 3, 3 и 4, 5 и 6,
7и 8, 6 и 8, 5 и 7 – смежные. Два угла, у которых одна
сторона общая, а две других являются дополнительными лучами, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180. Угол, смежный с прямым, - прямой.
1 и 8, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5 – накрест лежащие, причем углы 1 и 8, 2 и 7 – внешние накрест лежащие; 3 и 6, 4 и 5 – внутренние накрест лежащие.
1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8 – соответственные.
1 и 7, 2 и 8, 3 и 5, 4 и 6 – односторонние; причем углы 1 и 7, 2 и 8 – внешние односторонние; 3 и 5, 4 и 6 – внутренние односторонние.
Признаки параллельности прямых.
1. Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны.
2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
3. Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
4. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
5. Если при пересечении двух прямых третьей односторонние углы в сумме составляют 180, то прямые параллельны.
Теорема Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Дано:
Доказать:
Доказательство:
1)
2) и являются внутренними накрест лежащими
2. Доказать теорему о сумме внутренних углов треугольника и следствия из нее.
Теорема о сумме углов треугольника: Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
Дано: ∆АВС.
Доказать:
Доказательство:
1.
Проведем
Следствие
1. У
любого треугольника хотя бы два угла
острые.
Допустим, что у треугольника один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть хотя бы два угла, каждый из которых не меньше 90, а сумма этих углов не меньше 180. Это невозможно, так как сумма углов треугольника равна 180.
Следствие 2. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то и третьи углы этих треугольников равны.
Допустим, что у треугольников АВС и МРТ соответственно равны углы: А = М, В = Р. Тогда С = 180 - (А + В), Т = 180 - (М + Р). Следовательно, С = Т.
Следствие 3. У прямоугольного треугольника сумма острых углов равна 90.
Так как у прямоугольного треугольника один из углов прямой, то сумма двух других его углов равна 180 - 90 = 90.
Следствие 4. У равнобедренного прямоугольного треугольника острые углы имеют градусную меру 45.
Так как у прямоугольного треугольника один из углов прямой, то сумма двух других его углов равна 180 - 90 = 90. Поскольку эти углы равны, то градусная мера каждого 90 : 2 = 45.
Следствие 5. У равностороннего треугольника все углы имеют градусную меру 60.
Так как у равностороннего треугольника все углы равны между собой, а их сумма равна 180, то градусная мера каждого угла равна 180 : 3 = 60.
Билет 19
Если два катета одного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны (частный случай первого признака равенства треугольников).
2. Если катет и прилежащий острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны (частный случай второго признака равенства треугольников).
3. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.
─ следствие из второго признака равенства треугольников.
4. Если катет и противолежащий острый угол одного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны (частный случай второго признака равенства треугольников).
Доказывается аналогично предыдущей теореме ─ следствие из II признака равенства треугольников.
5. Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.
Доказательство:
1. Так как С = С1, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина С совместится с вершиной С1, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи СА1 и СВ1.
2. Так как СА = С1А1, то вершина А совместится с вершиной А1. Остается доказать, что совместятся точки В и В1.
3. Предположим, что точки В и В1 не совместятся. Рассмотрим Δ А1В1В2 – равнобедренный, так как АВ = A1B1 А1В2 = A1B1. Тогда A1B1В2 = A1В2B1. Заметим, что A1B1С1 - острый угол прямоугольного треугольника А1В1С1, а A1B1В2, смежный с ним, - тупой. Поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов, то это невозможно. Значит, точки В и В1 совместятся.