2. Определение внешнего угла треугольника. Доказать свойства внешнего угла треугольника.

Определение: Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом треугольника.

Построение внешнего угла: Чтобы построить внешний угол треугольника, нужно продлить соответственную сторону треугольника. При каждой вершине треугольника можно построить два внешних угла. Они равны между собой, так как являются смежными с одним и тем же углом.

Теорема: Внешний угол

треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Дано: ∆АВС.

Доказать:

Доказательство:

Билет 20

Опр1.Расстоянием между двумя точками является длина отрезка, соединяющего эти точки на плоскости. Длина отрезка АВ – расстояние между точками АиВ.

Опр 2. Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. CN  n. Длина отрезка CN - расстояние от точки C до прямой n.

Опр3. Расстоянием между параллельными прямыми a и b является длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки прямой а

(точки Р) на прямую b. PQ  b.

Теорема 1. Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны.

Дано: aс, b.с доказать, что аIIв

Допустим что а не паралл в, значит они пересекаются в т А. значит через т А к прямой опущены два перпендикуляра к прямой, что противоречит теореме о единственности прямой перпендикулярной данной .

Теорема 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Дано: a II с; b II c.

Доказать: a II b.

Доказательство:

Допустим, что a ∩ b = {M}. Тогда через точку М проходили бы две прямые (прямые а и b), параллельные прямой c. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, прямая a параллельна прямой b.

2. 1 Если два катета одного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны (частный случай первого признака равенства треугольников).

2. Если катет и прилежащий острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны (частный случай второго признака равенства треугольников).

3. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

─ следствие из второго признака равенства треугольников.

4. Если катет и противолежащий острый угол одного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны (частный случай второго признака равенства треугольников).

Доказывается аналогично предыдущей теореме ─ следствие из II признака равенства треугольников.

5. Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны

.

Доказательство:

1. Так как С = С1, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина С совместится с вершиной С1, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи СА1 и СВ1.

2. Так как СА = С1А1, то вершина А совместится с вершиной А1. Остается доказать, что совместятся точки В и В1.

3. Предположим, что точки В и В1 не совместятся. Рассмотрим Δ А1В1В2 – равнобедренный, так как АВ = A1B1  А1В2 = A1B1. Тогда A1B1В2 = A1В2B1. Заметим, что A1B1С1 - острый угол прямоугольного треугольника А1В1С1, а A1B1В2, смежный с ним, - тупой. Поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов, то это невозможно. Значит, точки В и В1 совместятся.

Билет 21

О пр1. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из множества точек, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности. О – центр окружности.

Опр 2. Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, а также длина этого отрезка. ОС, ОА, ОВ – радиусы окружности.

Опр 3. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. PQ, АВ – хорды.

Опр 4. Наибольшая хорда окружности, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Диаметр равен двум радиусам. АВ – диаметр.

Опр 5. Дугой окружности называется часть окружности, ограниченная двумя точками окружности. АС, АP, PQ, ВQ, BC – дуги окружности.

Формула длины окружности. Длина С окружности радиусом R выражается формулой С = 2R.

Формула длины дуги окружности). Длина дуги окружности определяется по формуле

Так как длина окружности С = 2R, то длина дуги в 1° а длина дуги в °

Определение 1. Угол, вершина которого лежит в центре окружности, называется центральным углом.

Центральному углу АОВ соответствует АKВ.

Дугу окружности можно измерить в градусах. Если дуга АВ меньше полуокружности, то ее градусная мера равна градусной мере центрального угла АОВ. Если дуга АВ больше полуокружности, то ее градусная мера равна 360° − АОВ.

Сумма градусных мер двух дуг с общими концами равна 360°.