1. Дополнительное построение. Проведем отрезок bd – биссектрису авс.

2. ABD = DBC = (по свойству биссектрисы).

4. Из ∆ABD = ∆DBC  A = C.

Теорема 2 (о свойстве углов равностороннего треугольника). Все углы равностороннего треугольника равны 60.

Дано: ∆АВС; АВ = ВС = АС.

Доказать: А = В = С.

Доказательство:

1. АВ = ВС   АВС – равнобедренный  А = С (углы при основании равнобедренного треугольника).

2. АВ = АС   АВС – равнобедренный  В = С (углы при основании равнобедренного треугольника).

3. A = B = C.

4. По теореме о сумме внутренних углов треугольника A + B + C = 180.

3A = 180. A = B = C = 60.

Билет 6

Плоскость не имеет границ. Представление о плоскости дает поверхность стола. Плоскость принято обозначать строчными греческими буквами: , ,

Определение 1. Множество точек, состоящее из точек прямой а и точек, лежащих по одну сторону от прямой а, называется полуплоскостью, ограниченной прямой а. Прямая а называется границей полуплоскости, а точки, не лежащие на прямой а, называются внутренними точками полуплоскости.

Аксиома расположения точек относительно прямой на плоскости:

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. При этом точки прямой и только они являются общими точками этих полуплоскостей.

Это разбиение обладает следующим свойством:

если концы какого-либо отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую а;

если концы какого-либо отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

A  ; B  . AB  .

Опред 1. Медианой треугольника называ­ется отрезок, соединяющий вершину треугольника с середи­ной противоположной стороны.

BM –медиана, проведенная к сто­роне АC (АD = DC).

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является его биссектрисой и высотой.

Дано: ∆АВС; АВ = ВС; ВD – медиана.

Доказать: BD – биссектриса,

BD – высота.

Доказательство:

2. Из ∆ABD = ∆DBC 

ABD = DBC  BD – биссектриса.

3. Из ∆ABD = ∆DBC 

ADB = CDB.

4. ADB + CDB = 180. 2ADB = 180.

ADВ = ВDC = 90.

ADВ = ВDC = 90.  BD  AC  BD – высота.

Теорема1а(обратная)

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является его медианой и высотой.

Дано: ∆АВС; АВ = ВС, BD - биссектриса. Доказать: BD – медиана, BD – высота.

Доказательство:

АВ=ВС(по условию)

1. АВD = DВС(по св-ву биссектр)

ВD –общая ==>

∆ABD = ∆CBD(1 призн)

2. Из ∆ABD = ∆DBC  AD = DC  AD – медиана по определению.

3. Из ∆ABD = ∆DBC  ADВ = ВDC.

4. АDВ = ВDС(по услов)

АDВ+ВDС=180˚(смежные) ==>

АDВ=ВDС=90˚==>

ВD АС

Теорема 1б (обратная). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является его медианой и биссектрисой.

Дано: ∆АВС; АВ = ВС, BD - высота. Доказать: BD – медиана, BD – биссектриса.

Доказательство:

AB=BC(по услов)

АDВ = СDВ (по св-ву высоты)

DВ – общая 

∆АВD=∆СВD (прямоуг-ые,по гипотенузе и катету)

2. Из ∆ABD = ∆DBC  AD = DC  ВD – медиана по определению.

3. Из ∆ABD = ∆DBC  AВD = СВD.  ВD – биссектриса по определению.

Билет 7

Опред 1. Лучом наз-ся часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону отданной точки О. т. О наз-ют началом луча.

Л учи обозначаются двумя большими буквами, первая из которых (О) указывает начало луча, а вторая – например B – произвольная точка на луче. Всякий луч имеет начало, но не имеет конца.

Опред2. Различные полупрямые одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку,называются дополнительными. OA и OB – дополнительные полупрямые.

Аксиома откладывания отрезков:

На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и притом только один.

Опред1. Отрезок, соединяющий две любые точки окружности, называется хордой.

Опред2. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Диаметр – наибольшая хорда окружности.

Теорема о диаметре, перпендикулярном хорде. Диаметр перпендикулярный к хорде, делит эту хорду пополам.

Дано: O – окружн;СD- диаметр

АВ – хорда. AB  CD

Д оказать: .АК=КВ

Доказательство:

1. Соединим концы хорды с центром окружности. Рассмотрим АOВ. АO = OВ = R 

COD –равнобедренный.

2. В ∆ АOВ по св-ву равнобедренного треуг-ка высота OК является и медианой по определению (АК = КВ)

Следствие 1. Расстояние от центра окружности до хорды равно расстоянию от центра до середины хорды.

Теорема 2 (обратная теорема). Если диаметр перпендикулярен хорде, не являющейся диаметром, то он проходит через середину хорды.

Дано: O – окружн; CD - диаметр; АВ – хорда. АВ ∩ CD = {К}. AB  CD.

Доказать: CК = КВ.

Доказательство:

1. Соединим концы хорды с центром окружности. Рассмотрим АOВ. АO = OВ = R

 COD –равнобедренный.

2. В ∆ АOВ OК – высота (AB  CD).  ОК - медиана по свойству равнобедренного треугольника  АD= DВ

Билет 8

Опред 1. Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а общее начало лучей – вершиной угла

Угол можно обозначить тремя способами: