11 Баллов, если все примеры выполнялись только по правилу умножения

многочленов;

11 + п баллов, где п — число произведений, которые вы нашли, используя

формулы сокращенного умножения.

(Тождества сокращенного умножения, 2004, с. 66.)

Методический прием — деловая игра, в которой сталкивается прошлый опыт изучения формул с новыми случаями сокращенного умножения многочленов. Обсуждение разных баллов, полученных за одну и ту же работу, мотивирует учащихся к поиску новых тож­деств и формул, создает условие для рефлексивной деятельности по использованию математической символики.

Итоги своей работы учащиеся могут проверить с помощью тек­ста, который вводит нормативные знания о новом тождестве.

Умножив (а + b) на (а - b), вы тем самым доказали тождество

(iа + Ь)(а - Ь) - а² - Ь².

Можно ли увидеть в этом равенстве формулу сокращенного умножения?

Прочитайте ее и дайте ей имя.

Укажите в задании те произведения, которые можно быстро найти с по­мощью новой формулы.

(Тождества сокращенного умножения, 2004 с. 66-67.)

Так школьники включаются в самостоятельную работу по поиску возможностей преобразовать выражения иначе, чем только исполь­зуя правило умножения многочлена на многочлен. При этом они должны произвести аналитико-синтетическую работу по опознанию различных выражений, то есть поработать с синтаксисом и семанти­кой данных алгебраических выражений и предложений.

Для выделения из полученного тождества формулы

а² - b² = (а + b) (а - b)

учащимся предлагается новый текст. Рассмотрим его фрагмент.

Прежде всего, ставится текстовая задача, которая мотивирует уча­щихся к использованию тождества (а + Ь)(а - Ь) = а² - Ь², к прочте­нию его справа налево и развивает такое качество семиотического опыта, как семиотическая обратимость.

Найдите площадь заштрихованной фигуры при:

1. а = 6 и b - ' 2

2. а - 14,7 и b - 4,7.

1

При а - 6 и Ъ = —

1. 

   а² - Ь² = (6)^г -

   3 = 36-- = 35-. 4 4

При а - 14,7 и Ъ - 4,7 а² - Ь² - (14,7)² - (4,7)².

(Тождества сокращенного умножения, 2004, с. 78.)

Найти значение числового выражения, полученного во втором случае, уже не так просто. Это мотивирует учащихся к поиску воз­можности упростить вычисления, то есть приводит к необходимости провести семантический анализ данного выражения.

Результаты проведенной работы учащиеся могут проверить, об­ратившись к тексту, который содержит пример рассуждений по по­воду нахождения значений выражений и вводит новую формулу.

Во втором случае площадь легче было бы вычислить, если бы мы преоб­разовали разность квадратов таким образом:

(14,7)² - (4,7)²= (14,7 - 4,7)(14,7 + 4,7) = 10 • 19,4 = 194.

То есть если бы мы воспользовались формулой а²-Ь² = (а +Ь)(а - Ь), вы­текающей из тождества (а + Ь)(а - Ь) = а² - Ь^г.

Представьте эту формулу схематически, прочтите ее.

Согласно нашей договоренности будем называть эту формулу по виду ее левой части, то есть так: формула разности квадратов.

Можно ли назвать данную формулу формулой разложения на множи­тели?

(Тождества сокращенного умножения, 2004, с. 78-79.)

Таким образом, школьники учатся кодировать информацию с по­мощью формулы, «всматриваться» в математическую символику. Методический прием составления данного текста — использование реальной задачи, способ решения которой мотивирует привлечение новой формулы.

Для того чтобы учащиеся могли использовать словесно-символи­ческую форму кодирования информации при изучении понятий, мы предлагаем тексты, которые учат школьников умению сознательно использовать каждый из употребляемых математических терминов, знаков. В частности, представляется целесообразным использовать тексты, которые учат школьников выделению отдельных элементов математических записей.

Так, учащимся предлагается выделить в записях одночленов кон­кретные элементы, имеющие собственные имена, сконструировать одночлен, зная его элементы (тема «Знакомимся с алгеброй», раздел «Одночлены», 7-й класс).

Заполните таблицу.

Одночлен	Коэф­ фици­ ент	Буквен­ ная часть	Степень одно­ члена	Стан­ дартный вид	Пример по­добного од­ночлена
5 а^5Ь^5	5		10	5а^56^5	-2а^5Ь^5
( 5 3> — ах —ах 1 6 J	...	а^2х*	...	...	...
	6		12	...	...
...а^3Ь(2,5)а^2Ь^2	6		8	...	...

(Знакомимся с алгеброй, 2004, с. 82.)

Поставленная в таблице задача не всегда имеет однозначное ре­шение. Это дает возможность учащимся проявить творчество при со­здании знаково-символических средств.

Один из методических приемов составления текстов, способству­ющих усвоению отдельных элементов, входящих в формулу, — это использование заданий с пропусками. Они дают возможность про­вести целенаправленный анализ математических записей. Приведем пример еще одного из таких заданий по теме «Квадратные уравне­ния» (8-й класс).

Заполните пропуски.

Уравнение	Формула корней
£ го I $ н о	...±^36 + ... *..2 - g
..х^2 + ..х + 2 = 0	0,5 ±J 0,25 -8 ^Х\ 2 = ^12 2
	...±•>/36-36 *1,2 ~
.._г^2 - 2х - 1 - 0

(Квадратные уравнения, 2002, с. 26.)

При выполнении этого задания необходимо, чтобы учащиеся от­ветили на вопросы: «Что дано?», «Что требуется найти?», «Можем ли мы во всех случаях ответить на вопрос единственным образом?», Полезно, чтобы школьники соотнесли каждую из возникающих при этом задач с общей формулой корней квадратного уравнения, прого­ворив вслух свое решение.

Рассмотрим тип текстов, которые предоставляют учащимся воз­можность принять участие в формулировании определений, теорем, правил действий над математическими объектами. Назовем такие тексты «текст — получение формулировок».

Один из таких текстов помогает учащимся ввести определение понятия «одночлен» (тема «Знакомимся с алгеброй», раздел «Одно­члены», 7-й класс).

Сначала учащимся предлагается серия заданий, которые позво­ляют выделить объем определяемого понятия. При этом учащимся предстоит перевести информацию с родного языка на язык матема­тики, увидев, как появляются объекты, входящие в объем нового по­нятия.

Слышали вы что-нибудь об одночленах? Давайте начнем с ними знако­миться.

1. Ответьте письменно на следующие вопросы:

а) сколько месяцев в t годах?

б) сколько часов составляют п минут?

в) сколько кубических сантиметров в т кубических метрах?

г) сколько минут в т сутках, п часах?

д) какова площадь фигуры, составленной из трех одинаковых прямо­угольников со сторонами а и Ь?

е) каков объем тела, составленного из пяти одинаковых параллеле­пипедов с ребрами а, Ь и а?

ж) какова площадь квадрата со стороной с?

з) сколько метров в километре?

2. Запишите следующие алгебраические выражения:

а) длина окружности, площадь круга радиуса г;

б) шестикратное произведение пятой степени переменной х и четвер­той степени переменной у;

в) произведение утроенного произведения квадрата переменной х и переменной у на удвоенное произведение кубов этих же пере­менных;

г) произведение пятой степени переменной х на четвертую степень переменной у\

д) половина предыдущего выражения;

е) учетверенное предыдущее выражение.

(Знакомимся с алгеброй, 2002, с. 72-73.)

После того как учащиеся проделали работу по поиску денотата, им предлагается текст, позволяющий проконтролировать ее резуль­таты, увидеть объем нового понятия.

Вы можете проконтролировать себя, так как ответы для всех заданий на­ходятся среди следующих выражений:

50; a²b] 4x³b²y^A; (~2)а³х^гус^А\ 12t,

х^$у^А) с²; 3 ab; 5 а²Ь;

6х⁵у*\ 60п; 24 • 60т; 3х²у ■ 2х³у³; 10³;

(1 Л

-хУ ; 25а³Ьс • (0,2)я²с6²;

У

2тсг; 10⁶ • т.

(Знакомимся с алгеброй, 2004, с. 73.)

Теперь данному множеству алгебраических выражений дается од­но имя. Ставится цель — найти то общее, что объединяет эти объекты, и оформить свои наблюдения, сформулировать определение «одно­члена». Итоги своей работы учащиеся могут обсудить, сравнивая свое определение с формулировками, предложенными в учебной книге.

Все выражения, перечисленные здесь, имеют общее имя — одночлены (или мономы).

Проанализируйте строение всех этих выражений и попробуйте дать опре­деление одночлена.

Как вы считаете, какая из следующих формулировок может быть взята в качестве определения одночлена? Какие из них не могут служить опре­делением одночлена?

1. Произведение нескольких степеней, основаниями которых являются переменные или числа. Любое число и любая переменная также явля­ются одночленами.

2. Алгебраическое выражение, содержащее произведение переменных.

3. Алгебраическое выражение, содержащее только действия умножения и возведения в степень.

4. Алгебраическое выражение, содержащее переменную.

5. Алгебраическое выражение, представляющее собой произведение, мно­жителями которого могут являться числа, одна или несколько пере­менных, каждая из которых взята в некоторой степени.

6. Алгебраическое выражение, представляющее собой произведение, мно­жителями которого могут являться степени переменных и числа.

(Знакомимся с алгеброй, 2004, с. 73-74.)

При работе с такого рода текстами появляется возможность обсу­дить данные формулировки, научить школьников предлагать контр­примеры, обращать внимание на роль отдельных слов и словосочета­ний. Методический прием, который был использован при составлении данного текста, — сопоставление объема понятия и его содержания, организация выбора формулировки. Учащиеся могут оценить резуль­таты своей работы, обратившись к словарю, который находится в от­дельном разделе этой учебной книги.

Итак, нами были рассмотрены некоторые тексты и задания в учеб­ных книгах «обогащающей модели» обучения, которые развивают у учащихся умение кодировать информацию словесно-символическим способом. В совокупности эти тексты создают условия для активиза­ции речевой деятельности как одного из важнейших аспектов поня­тийного мышления.

Таким образом, к типам текстов, способствующих развитию сло­весно-символического способа кодирования информации, относятся:

• текст — освоение математической символики;

• текст — поиск формулы;

• текст — получение формулировок.