2. Учебные тексты, способствующие развитию визуального способа кодирования информации

Отмечая решающую роль слова в становлении мыслительной дея­тельности, нельзя забывать о том, что формирование понятийного мышления не сводится лишь к овладению языком. Превращение слова в действительный регулятор процесса усвоения информации предполагает определенный уровень организации чувственно-прак- тического опыта учащегося, в частности, предметные действия и зрительные впечатления должны быть представлены в наглядно- обобщенной форме, обеспечивающей фиксацию существенных черт объекта.

Трудности мышления, оторванного от образной основы, вполне естественны: образ — это не просто «приложение» к теоретической (понятийной) мысли, это ее необходимая составная часть. Мышле­ние, лишенное элементов образности, рискует стать сухим, бесплод­ным, формальным. Обучение, не обращенное к образному опыту, не только не способствует развитию понятийного мышления, но и, в ко­нечном счете, подавляет его. Умение мобилизовать образное мышле­ние при изучении математического материала облегчает его понима­ние и запоминание.

На основе результатов психологических исследований (Р. Арн- хейм, Л. М. Веккер, В. П. Зинченко, Л. Ф. Обухова, М. А. Холодная,

Н. И. Чуприкова, М. Н. Шардаков, И. С. Якиманская и др.) можно выделить специфику образного языка понятийной мысли. Перечис­лим некоторые существенные свойства образов, входящих в состав понятийной мысли:

• динамичность: подвижность, активное преобразование образа, из­менение исходного образа в соответствии с требованиями задачи, а также возможность развития образа в ходе мыслительной дея­тельности;

• структурированность: дифференцированность и упорядоченность компонентов образа, выделение в нем деталей, характеризующих значимые свойства изучаемого объекта;

• обобщенность: передача в образных формах наиболее общих и су­щественных закономерностей изучаемых явлений, выделение в об­разе частных и общих признаков объекта;

• системность: соотнесение данного образа с рядом других образов.

Особое внимание развитию образного мышления традиционно уделяется при анализе процесса изучения школьного курса геометрии (В. А. Гусев, Е. Н. Кабанова-Меллер, М. В. Рычик, Г. И. Саранцев, О. В. Холодная, А. Я. Цукарь, И. С. Якиманская и др.). В арифметике и алгебре визуальный способ кодирования информации может сде­лать для учащихся «зримыми» слова и предложения математики, мо­жет послужить основой для введения нового понятия, может стать условием организации учебного материала и средством контроля мыслительной деятельности.

А. Белл описывает ситуацию, когда в начале урока на тему «Сло­жение десятичных дробей» учащимся было предложено выполнить следующее задание.

Заполните пропуски

1. 2; 0,4; 0,6; 0,8;...;(прибавляя по 0,2)

1. 25;...;...;...; (прибавляя по 0,2).

Среди ответов учащихся появляются такие: *«0,8 + 0,2 = 0,10», «0,25 + 0,2 - 0,27». Учитель не старается сразу исправить ошибки учащихся, а предлагает выполнить это же задание на числовом луче. Практически все школьники, допустившие ошибку, находят ее и принимают участие в поиске правила сложения десятичных дробей (Bell, 1998).

Образы позволяют обеспечить такую характеристику понятия, как его предметная отнесенность, сделать мыслительный процесс более ярким, гибким, повысить его эмоциональную насыщенность.

В исследовании Н. А. Резник рассматриваются различные аспек­ты развития визуального мышления. В частности, она указывает на

роль «картинки» «как способа разъяснения изучаемого, как решение определенного вопроса, как макет для разрешения поисковой ситуа­ции, как собирательный образ нескольких фактов учебной теории, как материал для формирования параллелей и аналогий» (Резник, 1999, с. 59).

Выделим учебные тексты, которые способствуют формированию нормативных образов как носителей определенного математическо­го знания.

Под нормативными образами будем понимать те образы, которые выработаны и в истории математики, и в истории преподавания школьной математики (таблица разрядов, числовой луч, координат­ная прямая, графики функции, площадь прямоугольника, отрезок и др.).

Рассмотрим тип учебных текстов, получивших название «текст — формирование нормативного образа». Цель таких текстов — созда­ние условий для выделения существенных свойств образов. Так, в рамках темы «Положительные и отрицательные числа» (5-й класс) учащимся предлагается текст, работа над которым поможет им раз­вести общие и частные признаки понятия «координатная прямая».

Можно ли по данным рисункам определять координаты отмеченных то­чек? Если да, то укажите эти координаты.

В

В

В АС

н—I—I—I—•—I—I 1 1—I—I—•—*-

В

1 -2

А С

-2

2

-7

А

С

А

С

1. Пришлось ли вам ответить на следующие вопросы: ф Где на координатных прямых находится начало отсчета? ф Нужно ли указывать на них положительное направление? ф Почему они расположены по-разному?

ф Какие координаты имеют точки Л, В, Си чему равно расстояние между заданными точками в каждом случае?

Может быть, у вас появились свои вопросы?

2. Найдите допущенные на этом рисунке ошибки и исправьте их.

^ I > ■+ I i i i i I I

-5 -3-2 0 1 2 4

(Математика-5. Ч. 2. Положительные и отрицательные числа, 2005,

с. 117-118.)

Это задание позволяет учащимся выделить с помощью слова су­щественные признаки координатной прямой, рассмотреть такие эле­менты этого образа, как -«единичный отрезок», «начало отсчета», «положительное направление», а также гибко их использовать.

Результаты контрольных работ часто показывают, что образы уча­щихся, связанные с графиками функции, носят фрагментарный ха­рактер. Учащиеся не могут соотнести элементы графиков с постав­ленными задачами. Анализируя эти результаты, мы посчитали, что их причиной является недостаточная работа над структурой данного образа.

При этом мы опирались на исследования Е. Н. Кабановой-Мел­лер, посвященные выявлению тех мыслительных операций, которые влияют на формирование у учащихся образов, адекватных содержа­нию изучаемых понятий. В частности, она пишет: «Под структурой образа мы понимаем следующее: выражены ли в образе те сущест­венные признаки предмета, которые сформулированы в определении понятия?» (Кабанова-Меллер, 1968, с. 95).

Приведем фрагмент текста, способствующего выделению свойств графика квадратичной функции (тема «Квадратичная функция», 9-й класс).

Верны ли следующие утверждения:

1. Вершиной графика функции у - (х - 1 )² является точка М(1; 0), а вер­шиной графика функции у - (х - 2)² — точка Р(-2; 0).

2. Ось симметрии графика функции у = ^(х - З)² имеет уравнение

1

3. График функции у - -2(х - 4)² симметричен графику функции у - 2(х - 4)² относительно оси Од:.

4. Наименьшее значение функции у = - - (х - 2)² равно 0, и ветви пара-

2

болы направлены вверх.

(Квадратичная функция, 2001, с. 90.)

Для формирования образа квадратичной функции предлагаются задания, которые специально учат школьников выделять отдельные элементы графика квадратичной функции в зависимости от постав­ленной задачи, активно преобразовывать образ. Приведем примеры двух таких заданий.

Используя график функции, ответьте на вопросы.

Верно ли, что:

а) если 0, тоу-0,75;

б) если х -2, тоу>0;

в) если*-1, тоу>0;

г) если х - 0, то у < 0;

д)еслих-0,4, тоу£0;

е) если х - 5, то у < 0.

(Квадратичная функция, 2001, с. 95.)

О параболе у = ах? + Ьх+ с известно, что ее ветви направлены вверх, она

не пересекает оси абсцисс, пересекает ось ординат в точке С(0; 7).

(Приведите пример такой параболы.)

Что из этой информации кажется вам существенным для решения:

1. уравнения ах² + Ьх + с =* 0;

2. неравенства ах? + Ьх + с> 0;

3. вопроса о наибольшем значении трехчлена ах¹ + Ьх + с?

(Квадратичная функция, 2001, с. 161.)

Каждое из этих заданий создает условия для того, чтобы сформи­ровать у учащихся умение выделять отдельные элементы образа в зависимости от поставленной задачи, что способствует развитию у учащихся умения использовать визуальный способ кодирования ин­формации при решении задач.

Визуальный способ кодирования информации используется и раз­вивается с помощью учебного материала, побуждающего школьни­ков к развитию образа в ходе рассуждения, к его обобщению, пере­стройке в связи с возникающими проблемами. Тексты этого типа можно назвать -«текст — развитие образа».

Рассмотрим тексты в рамках темы «Натуральные числа и деся­тичные дроби» (5-й класс), которые способствуют развитию такого образа, как «таблица разрядов». Таблица разрядов служит целям об­разного представления принципа десятичной нумерации натуральных чисел. При введении десятичных дробей эта таблица продолжается вправо разрядами, меньшими единицы, сохраняя тот же принцип по­разрядного значения цифры.

Вот фрагмент текста, посредством которого обобщается извест­ный учащимся образ таблицы разрядов.

В записи десятичных дробей целая часть отделяется от дробной части за­пятой. Например: 2,6; 0,5.

Целая часть				Дробная часть
	Сотни	Десятки	Единицы		>	Десятые
			2		>	6
			0		t	5

(Математика-5. Ч. 1. Натуральные числа и десятичные дроби, 2004, с. 62-63.)

Л. Ф. Обухова, анализируя работы Ж. Пиаже, отмечает, что он выделяет два типа образов: репродуктивные (воспроизводящие) и ан­тиципирующие (предвосхищающие) образы (Обухова, 1981).

Мы рассчитываем на то, что новый образ таблицы разрядов ста­нет помощником для построения учащимися гипотез о правилах дей­ствий над десятичными дробями, то есть выполнит функцию пред­восхищения.

Е. Н. Кабанова-Меллер отмечает, что «роль образа в мышлении учащихся зависит не от конкретности или схематичности образа, а от других особенностей его структуры: насколько выражены в этом об­разе существенные признаки изучаемых явлений» (Кабанова-Мел­лер, 1968, с. 96).

Рассмотрим три вида текстов для учащихся 5-х классов, которые способствуют выделению существенных и несущественных свойств позиционной записи натуральных чисел с помощью таблицы разрядов. Учащиеся уже знакомы с десятичной системой счисления. В таблице разрядов «ряды» назывались «единицы», «десятки», «сотни» и т. д. Учащимся предлагается новая ситуация использования таблицы.

Самое интересное, что Муми-троллева таблица разрядов оказалась при­годной и для восьмеричной системы счета.

Смотрите, как фрекен Снорк использовала ее для записи своих восьме­ричных чисел:

35₈ = 3 • 8 + 5 - 3 ■ 8¹ + 5 • 8°.

100₈ « 8 • 8 ~ 8².

100₈ - 1 • 8² + 0 • 8¹ + 0 • 8°.

(Математика-5. Ч. 1. Натуральные числа и десятичные дроби, 2004, с. 36.)

Данный фрагмент текста помогает учащимся выделить в образе таблицы разрядов существенные характеристики, развить известный им образ таблицы разрядов. Школьники имеют возможность осо­знать, что таблица разрядов для натуральных чисел, записанных в системе счисления, отличной от десятеричной, устроена аналогично, что здесь сохраняется и отражается общий принцип поразрядного значения цифр в записи числа. Методический прием получения тек­ста — варьирование признаков известного образа. Следующие два текста показывают возможности таблицы разрядов для изучения действий над натуральными числами.

Тут в беседу вступил Хемуль.

• Я придумал задачу. Вот она:

«В коллекции одного Хемуля было 2865 натуральных чисел и 3147 деся­тичных дробей. Сколько всего чисел в коллекции, то есть сколько будет

2865 + 3147?»

Задачу Хемуля решили в таблице разрядов.

Тысячи	Сотни	Десятки	Единицы
2	8	6	5
3	1	4	7
о-	■v.CD'—
	45)		(g)
6	0	1	2

(Математика-5. Ч. 1. Натуральные числа и десятичные дроби, 2004, с. 79.)

• А как тебе нравится моя таблица? — спросила фрекен Снорк и показала рисунок.

• Смотри, как хорошо видно, что при умножении на 10 каждая цифра пе­реходит в левый соседний разряд.

• Вот теперь я верю! — сказал Снусмумрик.

Тысячи	Сотни	Десятки	Единицы
		5 * * Л	3
	5	3	0

(Математика-5. Ч. 1. Натуральные числа и десятичные дроби, 2004, с. 136.)

Подобного рода тексты учат школьников использовать и преоб­разовывать образ в зависимости от поставленной задачи, то есть раз­вивают такое качество образа, как динамичность.

При изучении действий над десятичными дробями преемствен­ность в использовании образа таблицы разрядов создает условия для формирования целостных знаний учащихся о действиях над нату­ральными числами и десятичными дробями.

Приведем пример «текста — развитие образа» по разделу «Сло­жение десятичных дробей».

На помощь пришел Снифф.

— Хороший у тебя пример. Давай, рисуй свою разрядную таблицу. 16,46 кг + 2,845 кг.

Десятки	Единицы	9	Десятые	Сотые	Тысячные
1 +	6	}	4	6	0
	2	»	8	4	5

Начинаю сложение с меньшего разряда. Так мы поступали и с натураль­ными числами, — начал комментировать свою таблицу Снусмумрик.

(Математика-5. Ч. 1. Натуральные числа и десятичные дроби, 2004, с. 94.)

Следует согласиться с мнением Н. И. Чуприковой, что таблица разрядов может «представлять собой не только систему хранения зна­ний, но и средство познания» (Чуприкова, 1994, с. 13).

Заметим, что такие тексты особенно важны для учащихся с образ­ным стилем мышления, так как они создают условия для того, чтобы эти школьники активно включались в процесс планирования учеб­ной деятельности, хранили полученные знания в долговременной памяти. Кроме того, они могут оказать помощь школьникам со сло­весно-речевым стилем мышления, расширяя диапазон их интеллек­туального поведения при решении задач.

Среди текстов, развивающих визуальный способ кодирования ин­формации, следует выделить тип текстов, которые можно назвать «текст — мотивация нового образа». Он позволяет привлечь школь­ников к созданию образа. Учащимся уже известен такой нормативный образ, как числовой луч. В тексте учащимся предлагается изучить проблему, решение которой показывает, что известного им образа не­достаточно для изображения новых чисел, что нужен новый образ.

Приведем фрагмент учебного текста, в котором возникает необ­ходимость создания нового образа — числовой оси (тема «Положи­тельные и отрицательные числа», 6-й класс).

Буратино. Тюбик, привет! Видал такое: 6-8? Спорим, такую разность нарисовать не сможешь!

Тюбик. Надо попробовать. Некоторые разности я уже изображал на чи­словом луче. (Рисует.) Начну вот с чего — нарисую разность 6-4. Отмечу точку А, подпишу под ней число 6. От точки А отсчитаю влево 4 единич­ных отрезка. Я попал в точку В, которой соответствует число 2.

4

1. '"'VI

1 I—*-—I 1 1—

0 2 6

(6-4 = 2)

Точно так же я бы мог изобразить разность 6 - 5, 6 - 6. Стоп! А дальше? Как изобразить 6-7 или 6-8? Попробую поступить так же.

6

0 6 (6-6 = 0)

Буратино. Но мие-то нужна разность 6-8!

(Математика-5. Ч. 2. Положительные и отрицательные числа, 2005, с. 10.)

Здесь следует сделать паузу и выслушать предложения учащихся, а затем сравнить их с тем, как поступили герои книги.

Мальвина. Не шуми, пожалуйста! У Тюбика идет творческий поиск. Тюбик. Вот так мне видится разность 6-8.

8

Ч 1 —I 1 1 1 1 1 К-» I

(6-8 = ?) 0 6

Буратино. Что это такое?

Мальвина. Тюбику нужно было отсчитать влево от точки А восемь еди­ничных отрезков. На этом луче столько отрезков не нашлось. Луч кон­чился. Наш Тюбик вышел из положения — он на этой же прямой нарисо­вал новый числовой луч с началом в точке О и направленный влево от нее. Теперь Тюбик может свободно двигаться от точки А и влево, и вправо на любое количество единичных отрезков

(Математика-5. Ч. 2. Положительные и отрицательные числа, 2005, с. 10-11.)

Методический прием, способствующий мотивации нового норма­тивного образа, — создание ситуации, показывающей, что «старого» образа недостаточно для решения возникшей задачи.

Одним из важнейших качеств нормативных образов является со­отнесенность данного образа с рядом других.

Примерами текстов, способствующих развитию данного качества образа, являются тексты, которые можно назвать «текст — класси­фикация образов». В них учащимся предлагается соотнести данный образ с рядом других образов по какому-либо признаку или самим придумать основу классификации.

Развитию умения классифицировать графики функций на основе вполне определенного свойства квадратичной функции способству­ет, например, такой фрагмент текста (тема «Квадратичная функция», 9-й класс).

На рисунке даны графики квадратичных функций.

Какой из графиков указывает:

а) на отсутствие нулей у функции;

б) на то, что функция имеет только один нуль;

в) на то, что нули (корни) функции имеют разные знаки;

г) на то, что оба корня функции положительны;

д) на то, что оба корня функции отрицательны?

(Квадратичная функция, 2001, с. 95.)

Можно ли сказать, что на рисунке сделана некоторая классификация квадратичных функций (см. рис. на с. 170)?

Что положено в основу классификации функций? Какую бы классифика­цию предложили вы?

(Квадратичная функция, 2001, с. 85-86.)

Работа с таким текстом позволит учащимся обобщить свои зна­ния о графике квадратичной функции.

Итак, нами рассмотрены типы текстов, которые способствуют раз­витию таких свойств нормативных образов, как динамичность, струк­турированность, обобщенность, системность.

Кодирование информации может осуществляться не только с по­мощью нормативных образов. Большое значение для умственного развития учащихся имеют индивидуальные образы. К индивидуаль­ным образам мы относим те образы, которые спонтанно возникают у учащихся в процессе изучения того или иного математического понятия и которые связаны с их личным визуальным опытом. Для стимулирования деятельности учащихся по созданию собственных образов, связанных с тем или иным математическим фактом, мы с помощью специальных заданий просим школьников изобразить то, что они представляют себе в связи с изучаемым материалом. Кроме

того, мы стараемся с помощью текстов показать возможность зарож­дения и использования индивидуальных образов.

Такой тип текстов, получивших название «текст — инициация образного опыта*, стимулирует учащихся к размышлениям над тем, как можно наглядно представить информацию, настраивает на поиск собственных образных моделей математических объектов.

Так, например, для того чтобы образно зафиксировать идею о воз­можности записать одно и то же число несколькими способами, уча­щимся предлагается образ своеобразного мешка, у которого нет дна. Работа с «мешком» начинается в теме «Натуральные числа и деся­тичные дроби». Приведем фрагмент текстов по теме «Натуральные числа и десятичные дроби» (5-й класс).

Рассмотрите рисунок и скажите, попадут ли в «мешки» следующие числа:

200,5;

1,04;

0,60;

20,00;

1,000;

1,400;

0,006.

Какие еще числа могут оказаться в этих «мешках»?

Заполните «мешки» соответствующими числами. Как называются числа, соответствующие одной и той же точке на координатном луче?

1. Можно ли числа из одного «мешка» переложить в другой?

2. Есть ли на рисунке «мешок» для чисел:

0,7; 0,070; 0,700; 0,07000?

Если нет, то нарисуйте такой «мешок».

(Математика-5. Ч. 1. Натуральные числа и десятичные дроби, 2004, с. 219.)

В теме «Рациональные числа» (6-й класс) представление о «меш­ке» получает развитие и служит визуальной основой при изучении равенства обыкновенных дробей.

Приведем пример еще одного индивидуального образа. Важней­шим этапом в изучении уравнений является развитие умения ре­шать их разными способами. При этом необходима специальная ра­бота, которая позволила бы учащимся осознать такую возможность опознавать уравнения, которые могут быть решены определенным способом. Если использовать образную аналогию, то учащиеся долж­ны уметь «подобрать ключи» к разным уравнениям, которые помог­ли бы им решать уравнения. Эта идея выражается образно в виде «связки ключей» (тема «Алгебраические дроби», 7-й класс).

(Алгебраические дроби, 2000, с. 174.)

Таким образом, нами рассмотрены типы текстов, которые помога­ют учащимся кодировать информацию визуально. К ним относятся:

• текст — формирование нормативного образа;

• текст — развитие образа;

• текст — мотивация образа;

• текст — классификация образов;

• текст — инициация образного опыта.