2. Формирование когнитивных схем математических понятий и способов математической деятельности

Одним из показателей развития понятийного мышления является наличие у учащегося адекватных когнитивных схем. Под когнитив­ными схемами понимается такая форма организации и хранения прошлого опыта, которая позволяет учащимся активно включать его в решение возникающих проблем.

Когнитивная схема, с одной стороны, дает школьникам возмож­ность хранить в памяти устойчивые, типичные характеристики изу­чаемых математических явлений, воспроизводить типичный пример данного класса объектов. С другой стороны, когнитивная схема долж­на стать основой для опознания нового понятия, создавать контекст для приобретения новых знаний. Наконец, когнитивная схема долж­на быть гибкой, чтобы интеллектуальное поведение могло адаптиро­ваться к новым условиям деятельности.

Проблеме выделения разных видов когнитивных схем и их опи­санию посвящены исследования Дж. Брунера, Б. М. Величковского, М. С. Минского, У. Найссера, Ж. Пиаже и др. Рассмотрим назначе­ние некоторых когнитивных схем в процессе изучения учащимися числовых систем.

Дж. Брунером введено понятие фокус-примера как прототипа, в котором сконцентрированы наиболее существенные признаки изу­чаемого объекта; примера, который дает возможность составить пред­ставление о классе изучаемых объектов, о сути изучаемого явления. Обсудим приемы организации такого типа текстов, которые получи­ли название «текст — введение фокус-примера».

Так, в качестве фокус-примеров десятичных дробей с одним зна­ком после запятой могут быть использованы дроби 2,6 и 0,5, так как они являются прототипом данного класса десятичных дробей. Дробь 222,22 может стать фокус-примером десятичных дробей, так как, анализируя ее особенности, можно выделить важнейшее свойство десятичных дробей — в позиционных системах записи чисел значе­ние цифры зависит от того, какую позицию в записи числа она зани­мает.

Далее, средствами текста создаются условия для того, чтобы уча­щиеся могли воспринять эту дробь как фокус-пример. В частности, эта дробь помещается в таблицу разрядов.

Ты­ сячи	Сот­ ни	Де­ сятки	Еди­ ницы	9	Деся­ тые	Со­ тые	Тысяч­ ные	Десяти­ тысяч­ ные
	2	2	2	>	2	2

Кроме того, используется рисунок-схема, на котором иллюстри­руется свойство десятичных дробей.

Меньше В 10 раз В 10 раз В 10 раз В 10 раз

В 10 раз В 10 раз В 10 раз В 10 раз Больше

(Математика-5. Ч. 1. Натуральные числа и десятичные дроби, 2004, с. 70.)

Наконец, в тексте предлагается своего рода визуальная модель, которая помогает учащимся сфокусировать свое внимание на суще­ственных признаках данной дроби и тем самым запомнить особенно­сти записи десятичных дробей.

• Как красиво и просто: десятки-десятые, сотни-сотые, — сказала фре­кен Снорк.

• Что это просто, я согласен, но где ты увидела красоту? — возразил Снорк.

Фрекен Снорк укоризненно взглянула на брата и нарисовала картину.

• Смотри, Снорк, а запись-то десятичных дробей похожа на фонтан: «струи» симметрично бьют из единиц, — восхитился Муми-тролль.

Мудрая красота: если известно, как устроено число слева от запятой, то легко понять и устройство числа справа от запятой, — покивал головой Ондатр.

(Математика-5. Ч. 1. Натуральные числа и десятичные дроби, 2004, с. 70.)

Особенно важен выбор фокус-примера при введении новой темы. Он должен попасть в зону ближайшего развития учащихся, стать ос­новой для разворачивания собственных действий по использованию прошлых и новых знаний.

Так, фокус-пример понятия «отношения» может возникнуть при рассмотрении ситуаций, в которых приходится действовать по «ре­цепту».

Кондитер. В рецепте из поваренной книги написано: «Для приготовления вишневого варенья нужно взять сахар и вишню в весовом отношении 2:3». Объясни мне, пожалуйста, сколько нужно взять сахара и сколько — вишни? И что это такое — отношение?

Математик. Слова «взять в весовом отношении 2:3» означают, что на ка­ждые две весовые меры сахара нужно взять три весовые меры вишни. Кондитер. Так сколько сахара нужно взять?

Математик (улыбаясь). Сколько захочешь.

Кондитер. Замечательно! А вишни? Тоже сколько захочу?

Математик. Правильнее будет сказать, что ты волен выбрать единичную меру, которой будешь потом измерять и вес сахара, и вес вишни. Если ты за единичную меру выберешь один килограмм, то нужно будет взять 2 ки­лограмма сахара и 3 килограмма вишни. Но ты можешь выбрать и любую другую меру.

Кондитер. Например, есть такая английская мера веса — фунт. Если вы­брать за единицу меры ее, то нужно будет взять 2 фунта сахара и 3 фунта вишни. Правильно?

Математик. Совершенно верно. Скажи теперь, сколько нужно взять са­хара и вишни, если за единичную меру принять не один фунт, а, напри­мер, три фунта?

Кондитер. Но разве можно принимать три фунта за одну единицу? Ведь три совсем не равно одному!

Математик. А почему бы и нет? Могу ведь я сказать: «одна трехфунтовая гиря». И мерить вес всех компонентов трехфунтовыми гирями. Кондитер. Действительно... Но тогда надо рассуждать по-прежнему: возь­мем 2 единицы сахара (что составит 3 • 2 ^в 6 фунтов) и 3 единицы вишни (что составит 3-3-9 фунтов).

Математик. Неважно, сколько здесь по отдельности берется сахара или вишни, а важно то, что они во всех случаях, когда варенье приготовлено по рецепту, сохраняют между собой одно и то же отношение.

Кондитер. А если взять сахара больше, что тогда произойдет? (Математика-6. Ч. 2. Рациональные числа, 2005, с. 79-80.)

Еще одним видом когнитивных схем является фрейм. Фрейм — это форма хранения стереотипных знаний о некотором классе ситуа­ций: его «каркас» характеризуют устойчивые, всегда имеющие место отношения между элементами объекта или ситуации, а «узлы» (или слоты) этого каркаса — вариативные детали данного объекта или си­туации. Для формирования фреймов используется такой тип учеб­ного текста, как «текст — создание фрейма». Для получения фрей­мов может быть использован прием варьирования действий с одним и тем же математическим объектом, например, при работе с поняти­ем «позиционная запись числа». Одной из форм хранения стерео­типных знаний о свойствах позиционной записи натурального числа является таблица разрядов. Ее разворачивание вправо приводит к появлению нового вида чисел — десятичных дробей (вариативность), при этом сохраняются известные свойства позиционной записи чи­сел (инвариантность).

Приведем фрагмент текста, с помощью которого создается когни­тивная схема (фрейм) позиционной записи чисел (тема «Натураль­ные числа и десятичные дроби, 5-й класс).

Рассмотрите таблицу разрядов.

Ты­ сячи	Сот­ ни	Десят­ ки	Едини­ цы	9	Деся­ тые	Со­ тые	Тысяч­ ные	Десяти­ тысячные
4	0	0	0
	4	0	0
		4	0
			4
			0	t	4

Какую закономерность в заполнении строк таблицы вы заметили? Как появился новый разряд?

Для чего нужна в таблице запятая?

Вы уже обратили внимание на то, что в таблице появилось новое число:

1. 4 — нуль целых четыре десятых?

Это число называется десятичной дробью.

Объясните, как появилось это число в таблице разрядов.

Как бы вы заполнили следующую, пустую строку таблицы?

(Математика-5. Ч. 1. Натуральные числа и десятичные дроби, 2004, с. 210.)

Возможность получения новых разрядов в записи десятичных дробей подчеркивается тем, что таблица разрядов изображается в тек­сте в виде рулона, и это способствует созданию у учащихся адекват­ной когнитивной схемы о взаимосвязях между натуральными числа­ми и десятичными дробями, о свойствах десятичных дробей.

	Тысячи	Сотни	Десятки	Единицы	*	Десятые	Сотые
				0	9	8	3

Следует заметить, что формированию фреймов способствуют тексты, содержащие вопросы, позволяющие выделить инвариантные и вариативные характеристики математических объектов. Приведем примеры подобных вопросов в теме «Делимость чисел» (6-й класс).

2. Может ли наименьшее общее кратное двух чисел:

а) быть равным 0;

б) быть равным 1;

в) быть равным одному из чисел;

г) быть больше каждого из чисел?

Проиллюстрируйте ответы примерами.

2. Как найти число, которое делится и на 72, и на 108?

3. Можно ли восстановить числа, если известны их наибольший общий

делитель и наименьшее общее кратное?

(Математика-6. Ч. 1. Делимость чисел, 2005, с. 112.)

Еще одним частным случаем когнитивных схем являются алго­ритмы, инструкции, правила. Для формирования таких когнитивных схем был разработан тип текстов, получивший название «текст-про- цедура». Прежде всего сюда относятся тексты, в которых описыва­ются основания соответствующих процедур.

В учебной книге «Математика-5. Ч. 1. Натуральные числа и деся­тичные дроби» предложено параллельное (совместное) изучение

действий над натуральными числами и десятичными дробями. Такая форма организации учебного текста создает условия, позволяющие учащимся выявить основания для получения алгоритмов действий над десятичными дробями. Методическими приемами, способствую­щими выделению того общего, что объединяет алгоритмы действий над натуральными числами и десятичными дробями, является орга­низация сравнения этих действий в условиях использования специ­альных визуальных средств и фокус-примеров.

Изучение деления многозначных натуральных чисел и десятич­ных дробей на однозначное число — это одна из сложных тем школь­ного курса арифметики. Причиной ошибок, допускаемых при ее изу­чении, является то, что учащиеся не осознают основную идею, — деление выполняется поразрядно.

Учебный текст начинается с задачи, мотивирующей поиск алго­ритма деления десятичных дробей на однозначное число.

Как из доски длиной 1,48 м сделать 4 одинаковые полочки?

Сотни	Десятки	Единицы	Десятки	Единицы
1	4	8	со II	7
1	2
	2	8
	2	8
		0

В тексте предлагается несколько решений: деление на основе практических соображений, деление на основе связей между едини­цами метрической системы мер, сведение деления десятичной дроби на однозначное число к делению многозначного числа на однознач­ное. Последнее решение дает возможность актуализировать извест­ную учащимся процедуру деления натуральных чисел: «деление вы­полняется поразрядно». Причем эта когнитивная схема должна быть развернута достаточно полно, чтобы стать основой для формирова­ния более сложной когнитивной схемы. Приведем фрагмент текста, содействующего актуализации опорной когнитивной схемы дейст­вия деления натуральных чисел.

Теперь делим поразрядно.

1. сопм нацело на 4 не делится, то есть в част­ном не будет цифры, стоящей в разряде со­тен. А будут ли цифры в разряде десятков?

В делимом 14 десятков. 14 делится на 4. По­лучаем в частном 3 десятка. Из 14 десятков нацело разделилось 12 = 4 ■ 3.

2. десятка в остатке.

2. десятка переводим в единицы, получается 20 единиц, и присоединяем к ним 8 единиц делимого.

28 делится на 4 нацело. В частном получается 7, а в остатке 0. Деление закончено.

• Получается, что Снусмумрик «распотрошил» число 148 на такие сла­гаемые, каждое из которых делится на 4, — сообразил Муми-тролль, — у него получилось:

148 - 12 дес. + 28 ед. - 120 + 28, потом каждое слагаемое разделилось на 4:

148 : 4 - (120 + 28) : 4 - 120 : 4 + 28 : 4 - 30 + 7 - 37.

(Математика-5. Ч. 1. Натуральные числа и десятичные дроби, 2004, с. 171.)

Данный текст восстанавливает в памяти учащихся алгоритм де­ления многозначного числа на однозначные. Затем предлагается текст, который вводит новые элементы (шаги) в алгоритм деления многозначного натурального числа на однозначное: деление много­значных натуральных чисел на однозначные, зная десятичные дроби, можно выполнить без остатка. При этом делимое в примерах текста остается прежним, а меняется лишь делитель.

Затем фрекен Снорк начала делить число 148 на 5. Вот что получилось:

148

10

48

“45

3

29

148 : 5 = 29 (ост. 3)

• А я попробую поделить в таблице разрядов. Оно как-то основательнее получается, — сообщил Муми-тролль, взял число 148, разделил его на 5 в таблице и записал ответ. Деление в таблице получилось без остатка, но появилась дробная часть:

S X	S	S * 1-	Ъ S		ф г	ф	3 X X
S	X н	к о	X S		§	i	о
2 У-	3	й	1		ct	о о	г
	1	4	8	f	0	0	0	: 5 = 2	9	.6
	1	0					Десятки
		4	8
		4	5				Единицы
			3	0
			3	0			Десятые

(Математика-5. Ч. 1. Натуральные числа и десятичные дроби, 2004, с. 173.)

Деление вновь выполняется в таблице разрядов. Причем делимое остается прежним, а меняется лишь делитель. Это дает возможность

учащимся увидеть общее и особенное в разных случаях деления на­туральных чисел на однозначное число. Завершает текст вывод.

Если при делении натурального числа на однозначное натуральное число получается остаток, то ставь в частном запятую, а остаток переводи в еди­ницы следующего, меньшего разряда и продолжай деление. (Математика-5. Ч. 1. Натуральные числа и десятичные дроби, 2004, с. 174.)

Следующий текст создает условия для формирования алгоритма деления десятичной дроби на однозначное число. Главное в данной когнитивной схеме — поразрядность деления, постановка запятой в частном. В связи с этим соответствующий текст вновь содержит таб­лицу разрядов. В приводимых примерах деления в делимом меня­ется лишь место запятой, а делитель остается одним и тем же. Это поможет школьникам увидеть закономерность в постановке запятой.

• Послушайте! — заметил Снусмумрик. — Так ведь если работать в таб­лице разрядов, то понятно, как делить десятичные дроби на однозначное число.

1.

8

1

1

4

2

8

0, 3 7

Ед-цы*

8 8

2

2

8

_8

0

0

3. 0, 0 0 1 4	8	4
" 1 2		0. 0 0 0 3,7
	Десятитысячные |

2 8

2 8 Стотысячные

_1 4, 1 2!

j

_2

2

Десятые

2.

о

Деление десятичной дроби на однозначное натуральное число выполня­ем так же, как и деление натуральных чисел, но как только заканчивается деление целой части, в частном ставим запятую.

Если закончили «сносить» цифры делимого, а остаток еще не равен нулю, то последовательно приписываем в делимом справа один нуль за другим и продолжаем деление. Появление нуля в остатке означает, что деление закончено.

(Математика-5. Ч. 1. Натуральные числа и десятичные дроби, 2004, с. 174.)

Для развития умений использовать алгоритм нужны тексты, ко­торые позволяют учащимся осознать важнейшие его шаги. Приведем фрагмент одного из таких текстов о делении на однозначное число.

Рассмотрите равенства:

3208 : 8 - 04010; 0,3208 : 8 - 040100;

32,08 : 8 - 04010; 0,03208 : 8 - 000040100;

3,208 : 8 - 0040100; 320800 : 8 = 00401000.

Поставьте запятую, отбросьте лишние нули.

(Математика-5. Ч. 1. Натуральные числа и десятичные дроби, 2004,

с. 175.)

Познавательная деятельность по получению когнитивной схемы — алгоритма — строится также на основе текстов, позволяющих уча­щимся приобретать знания о различных результатах, получаемых при его исполнении.

Приведем фрагмент текста, в котором создаются условия для об­суждения результатов выполнения деления многозначного числа и десятичных дробей на однозначное число: это может быть натураль­ное число, конечная десятичная дробь и бесконечная периодическая дробь.

У Тофслы с Вифслой с примерами 1,48:9 и 148:9 творилось что-то нево­образимое.

б) 14 8

а) _1, 4 8

9

4.2.2. Обогащение ллетакогнитивного опыта учащихся 6

5.1. Актуализация разных способов кодирования информации 149

5.1.1. Учебные тексты, способствующие развитию словесно-символического способа кодирования информации 150

5.1.2. Учебные тексты, способствующие развитию визуального способа кодирования информации 167

5.1.3. Учебные тексты, способствующие развитию предметно-практического способа кодирования информации 195

5.1.4. Учебные тексты, способствующие развитию сенсорно-эмоиионадьного способа кодирования информации 201

5.2. Формирование когнитивных схем математических понятий и способов математической деятельности 203

Отредактировал и опубликовал на сайте : PRESSI ( HERSON )