Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика (Решебник)

230	Гл. 10. Ряды

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1.Если a^+i < о^п и lim^_^oo <^п = О? то А,ЛЯ остатка ряда Rn справедливо неравенство

\Rn\ £ «n+l-

2. Если a^+i < а, то и \Rn\ < а. Поэтому, решая неравенство

ttn+i < а,

находим количество членов ряда, которое необходимо взять для вы­ числения суммы ряда с заданной точностью а.

3. Непосредственно вычисляем п-ю частичную сумму и записыва­ ем ответ:

5 « 5п = ai - а2 + ... 4- (-1)""^ап.

ПРИМЕР . ВЫЧИСЛИТЬ сумму ряда

оо

П = 1	^	'
С ТОЧНОСТЬЮ а = о, 0 0 1 .
РЕШЕНИЕ.		,

1. Данный ряд знакочередующийся и сходяш;ийся (абсолютно). Члены ряда убывают по абсолютной величине:

п + 1	-г.	п	W ^ .
<		ТТТ7	Vn > 1.
(1 + (п + 1)3)2 -	( Ц - п З ) 2

Следовательно,справедливо неравенство

гг + 1

\^п\ £ ^n+l — (1 + (71+1)3)2-

2. Если ttn+i < а, то и \Rn\ < ос- Поэтому, решая неравенство

n-f 1	1
(l + (n +1)3)2 <	1000'

находим количество членов ряда, которое необходимо взять для вы­ числения суммы ряда с заданной точностью а. Получаем п > 3, т.е. достаточно взять первые три члена ряда.

10.9. Область сходимости функционального ряда

231

3. Вычисляем:

Ответ:

5 ?^-0,229 ± 0,001.

Условия ЗАДАЧ. Вычислить

суммы знакочередующихся

рядов

с

заданной точностью

а.

П = 1

п=1

(-1)"

^

(-1)"

П = 1

^

'

П = 1

^

^

оо

(_1)п

а = 0,0001.

6.

оо /_-|\п

'

« = 0,001.

^- Е

т

^ '

^

V

T

-^^^ (2п)\п

^-^

2^п\

п=1

^

'

п=1

оо

•Ы;,

а = 0,01.

8.

^ "

" = 0,01.

7- Е ^ з т ? '

" = 0'01-

8-

ЕЧ;;^-'

п=0

n=l

( - 1)"

a = 0,01.

10.

^

(-1)n - 1

a = 0,01.

9. y^^—Y-^

V - ^ ^ - — ,

n•=^0

n!

^ ( 2 n

+

l)3

• ^

(2n

+

l)'^

n=l

^

^

Ответы.

1.

5

~

0,84.

2. 5

:^

0,896.

3. 5

:^

-0,275.

4. 5

:^

~ -0,332.

5. 5

^

-0,4796.

6. 5

2^ -0,393.

7. 5

-

0,13.

8. 5

-

--0,45. 9. 5 :^ 0,36. 10. 5 - 0 , 0 4 .

10.9.Область сходимости функционального ряда

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найт,и область сходимости функциональ­ ного ряда

T.fnix).

П = 1

232	Гл. 10. Ряды

ПЛАН РЕШЕНИЯ. При каждом допустимом значении х рассматри­ ваем данный ряд как числовой и исследуем его сходимость, применяя теоремы сравнения, признаки Коши, Даламбера и др. Таким образом находим те значения ж, при которых данный ряд сходится. Совокуп­ ность таких значений х образует область сходимости ряда.

При использовании признаков Даламбера или Коши поступаем следующим образом.

1. Находим д{х) по одной из формул (если пределы супдествуют)

е{х) = Um % ^ 7 ^ или в{х) = lim " ^ / [ Ш I ,

где fn[x) — обш;ий член ряда.

2.Так как по признакам Даламбера или Коши ряд сходится при

^< 1 и расходится при ^ > 1, находим интервал сходимости, решая неравенство д{х) < 1.

3.Исследуем поведение ряда в граничных точках интервала схо­ димости.

Записываем ответ.

ПРИМЕР 1. Найти область сходимости ряда

^3

х+1

РЕШЕНИЕ.

1. Для каждого фиксированного х все члены данного ряда поло­ жительны:

«^3
п	> О Vn > 1.

2. Используем вторую (предельную) теорему сравнения. Имеем

	п^	1	п р и П -> ОО.
	(n2 + V ^ + 1)^+1	п2(^+1)-3

Так как при 2{х + 1) — 3 > 1 ряд

оо^

2-^ ^2(ж4-1)-3

п =1

10.9. Область сходимости функционального ряда

233

сходится, а при 2(ж + 1) — 3 < 1 расходится (как обобщенный гармо­ нический), то по второй теореме сравнения ряд

ЕпЗ

П= 1 ^

сходится при вс^х X > 1.

Ответ. Область сходимости ряда — (1,оо).

ПРИМЕР 2. Найти область сходимости ряда

^ п З ( ж 2 - 4 ж + 7 ) ^ '

т г = 1 ^ ^

РЕШЕНИЕ.

1.Для того чтобы применить признак Даламбера, находим д{х) по формуле

						ЛП+1
.	,	у	l/n+il	,.	(п + 1)3|а:2-4х + 7|"+1			4	zr •
^(а;) =		lim	, ^ ,	= lim	-^	'—^—т^г	•	= т^ :;
^^	^	п-^оо	1/^1	п->оо		4^		|а:2_ 4x4-71

72^1x2 - 4х4-7|"'

2. Так как по признаку Даламбера ряд сходится при ^ < 1 и расходится при ^ > 1, находим интервал сходимости, решая неравен­ ство Q{X) < 1:

4

\х^ - 4а: -Ь 7| "^ *

Получаем х Е (—оо, 1) U (3, ос).

3. Исследуем сходимость ряда в граничных точках: при X = 1 ряд

сх.

п = 1

сходится (как обобщенный гармонический с р = 3 > 1); при X = 3 ряд

оо

ЕЛ

п=1

также сходится.

Ответ. Область сходимости ряда — (—оо, 1] U [3, +оо).

234				Гл. 10. Ряды
Условия ЗАДАЧ.			Найти	области		сходимости функциональных
рядов.
ОО		^			ОС		^ » ,
				2	V		on
1 V — ^ ^ —							^
'^(-§/^1+1)'^+^'				'	^ п ( х 2 - 6 х + 10)"'
п=1	^ ^	^			п=1	^	"^
ОО		А			ОС		o n
Z ^	n^'+4x + 3			'	^	п(ж2 -	5ж -f 9)" *
n = l					n = l	^	"^
ОО					ОО	.j^
^- i-jn^^-z		+ i-		^-	2^п2(г2 + 3)"'
п=1					п=1	^	'
ОО		2			сю		^~,
^-^ (п + л/п)^ '				*	^ ^	п(а;2 -	4а; + 8)" '
П = 1 ^		V /			^__-|^ \		/
п=1					п=1	^	^
Ответы. 1.(3,+оо).			2. (-оо,2)и(4,+оо).				3. (-оо,-5) U (1, Н-оо).
4. (-00,2) и (3, +оо).			5. (-00, -2)		U (2, +оо).		6. (-оо, -1] U [1, +оо).
7. (3, +оо).	8. (-00,1)		и (3, +оо).		9. (0,3).		10. (-оо, 0] U [2, +оо).

10.10. Область сходимости степенного ряда

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти область сходимости степенного ряда

	оо
	^ С п ( ж - Ж о ) ' ' -
	п=1
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Если существуют пределы
у	\Сп\		1
lim	г	или	limn_>ooVW'
п->оо |cn4-i|

то можно найти радиус сходимости степенного ряда по формуле Даламбера

R=]lm-j^

(1)

п-^оо |Cn-fl|

10.10. Область сходимости степенного ряда

235

или по формуле Коши

R=

^ ^ — .

(2)

Тогда интервал сходимости ряда есть —R<x — xo < R.

ЗАМЕЧАНИЕ. Формулы (1) и (2) применимы лишь тогда, когда все коэффициенты степенного ряда с„ отличны от нуля. В противном случае находим д{х) по одной из формул

д{х) = lim % t i ^ или в{х) = Ит " ^ / i л M ,

где fni^) — общий член ряда (см. задачу 10.9). По признакам Даламбера или Коши ряд сходится при ^ < 1 и расходится при ^ > 1. Следо­ вательно, находим интервал сходимости, решая неравенство д{х) < 1.

2. Исследуем поведение степенного ряда в граничных точках ин­ тервала сходимости ж = хо ± Я.

Записываем ответ.

ПРИМЕР 1. Найти область сходимости ряда

i.^<-')"

П = 1

РЕШЕНИЕ.

1.В данном случае с„ = (n-fl)^ ф О при всех п. Поэтому можно

применить формулы (1) или (2) для радиуса сходимости степенного ряда.

По формуле Даламбера

	R=	lim	n-^oo 2n + 1 / 2n + 3
	n-^oo Cn+1
	Следовательно,	интервал сходимости определяется неравенствами
	- 1 < а : Ч - 1 < 1 и	имеет вид (-2,0).

2. Исследуем сходимость ряда в граничных точках интервала схо­ димости. В точке а: = — 2 степенной ряд принимает вид

^ 2п + 1 ^ ^

П = 1

236	Гл. 10. Ряды

ив точке X = О степенной ряд принимает вид

у(lL±i)!(i)n.

Z ^, 9ti2n 4+- 1l ^ ' n=l

Оба ряда расходятся, так как не удовлетворяют необходимому усло­ вию сходимости рядов:

(п + 1)^

""-"шт^^'^^^'-

Следовательно, в этих точках ряд расходится.

Ответ. Область сходимости степенного ряда — (—2,0).

ПРИМЕР 2. Найти область сходимости ряда

ОС .

РЕШЕНИЕ.

1.В данном случае с^ = О при всех нечетных п. Поэтому нельзя применять формулы для радиуса сходимости степенного ряда.

Используем признак Коши, для чего вычислим

д{х) = lim Vl/nWI,

Находим ^(х):

е(х) = lim -J-±-{x-2y"		= {х~ 2)\
п->оо	V '^ + J-
По признаку Коши ряд	сходится при	^ < 1 и расходится при

^ > 1. Следовательно, интервал сходимости определяется неравенст­ вом {х — 2)^ < 1 и имеет вид (1,3).

2. Исследуем сходимость ряда в граничных точках интервала схо­ димости. В точке X = 1 ряд

СХ) .

п=1

10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием

237

сходится условно по признаку Лейбница. В точке X — 3 ряд

п=1

расходится.

Ответ. Область сходимости степенного ряда — [1,3).

Условия ЗАДАЧ. Найти области сходимост^и степенных рядов.

п=1 п=1

3. Е ^ ^ .			^^	Е		'
п=1				п=1 ^
^ {	х	- 2)"		^		( х - 3 ) ^ - 1
^ ^ ( n		+ l)3^'	'	^ ^	(2пЗ + 3n)4^ •
n = l	^	'		n = l	^	^
со		у—		СХ)
n = l				n=l	^	^'
						2n+l
n=l	^	'		n~\	^	'

Ответы. 1. (-7,11). 2. (2,4). 3. ( - 7, - 3) . 4. [-2,1). 5. [-1,5).

6.[1,5]. 7. [-4, -2]. 8. [-5,1). 9. (-6, -2]. 10. (-oo, +oo).

10.11.Вычисление суммы ряда почленным интегрированием

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти сумму функционального ряда вида

Е

и указать область сходимост^и ряда к этой сумме.

238	Гл.10. Ряды

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1.Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенст­ вом

I/WI < 1.

Если f{x) = 1, ряд расходится. Если f{x) = —1, ряд сходится условно (по признаку Лейбница). Следовательно, область сходимости опреде­ ляется неравенствами —1 < f{x) < 1.

2.Делаем в исходном ряде замену f{x) = t, получим степенной

ряд

п=1

собластью сходимости [—1,1).

3.Известна формула для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

оо	1^
^ Г	= ^ ,	\t\<l.	(2)
п=к

4. Кроме того, имеем очевидное равенство

п=к п—к

5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке [0,t], целиком принадлежащем интервалу сходи­ мости, и используя формулу (2), получаем

оо ,п rt оо ^t к

Заметим, что так как ряд (1) сходится в граничной точке t=—1,

то сумма ряда непрерывна в этой точке (справа).		Следовательно,
5( - 1)	= lim S(t).
6.	Вычисляем интеграл, делаем замену t на f{x)	и записываем

ответ: сумму ряда и область его сходимости.

10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием

239

ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ ряд имеет вид

Е

^^Jn + a)(n + b)'

то применяем теорему о почленном интегрировании степенного ряда дважды или разлагаем дробь на элементарные:

		1
[п-^ а)[п-\-Ь)	\n-\-a	п^-Ь) Ь - а^

и вычисляем сумму каждого ряда почленным интегрированием.

ПРИМЕР. Найти сумму ряда

оо. л,

E sm X

п

п=1

Иуказать область сходимости ряда к этой сумме.

РЕШЕНИЕ.

1. Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенст­ вом I sinx| < 1.

В граничных точках при х = 7г/2 + 27тк ряд расходится, при х = = 37г/2 -h 27г/с ряд сходится условно.

Следовательно, данный ряд сходится при всех х ф т:/2 -^ 2'кк (А: = 0,±1,...).

2.Сделаем замену sin ж = i. Получим геометрический ряд (1) с областью сходимости [—1,1).

3.Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

СХ)

-

п=1

4. Кроме того, имеем очевидное равенство

оо ^	оо	.t
n = l	n = l	/о