Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика (Решебник)

200	Гл. 8. Определенный интеграл
вычисляется по формуле
	У = 7г [	(t;(x)2 - и{х)^) dx.	(1)
1.	Определяем область D.	Если неравенства, определяюпще об­

ласть Z), неизвестны, т.е. неизвестны а и b и/или неизвестно, какая

из функций fi{x)		и f2{x)	больше другой на отрезке			[а,6], то выпол­
няем следующие операции.
а) находим а и b как абсциссы точек пересечения графиков функ­
ций fi{x)	и /2(2:), т.е. решаем уравнение
			fi{x)	=	/2 (ж);
б) исследуем знак разности fi{x)					— /2(3:) на [а, Ь]. Для этого доста­
точно вычислить значение fi{x)				— f2{x) в какой-нибудь точке из (а, Ь).
Если оно положительно, то fi{x)					> /2(2^) и, следовательно, и{х)		=
= /2(3:) и	v{x) =	fi{x).	Если оно отрицательно, то			/i(a;) < /2(2:)	и,
следовательно, и{х) = fi{x) и v{x)					= /2(2^)-
2. Вычисляем объем по формуле (1).
Записываем ответ, не забывая о размерности.

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача, если тело образовано вращением области вокруг оси ОУ или оси 0Z.

П Р И М Е Р . Вычислить объем тела, образованного вращением об­ ласти, ограниченной графиками функций

у = х^ у = \/ж,

вокруг оси ох.

РЕШЕНИЕ.

1.Определяем область D :

а) находим абсциссы аиЬ точек пересечения графиков. Для этого решаем уравнение

х^ =	у/х.
Получаем
а = О,	6 = 1;

б) на отрезке [0,1] -Jx > х^. Следовательно, и{х)=х^ и у{х) = л/х.

8.12. Вычисление объемов тел вращения

201

2. Вычисляем объем по формуле (1):

У =

7Г /

[(V^)2

-

[x^f]

dx

= 7T f

{х-

X^) dx

= бтг

Jo

Jo

Ti'

Ответ.

57г/14 (ед. длины) .

Условия

ЗАДАЧ. Вычислить

объемы теЛу образованных

враще­

нием вокруг

оси ОХ

областей,

ограниченных

графиками

заданных

функций.

1.

2/ =

-а:2 + 1,

2/ =

0.

2.

?/ =

sin (7гж/2),

у = X.

3.

2/ =

х2,

У = у/Х.

4.

у =

a:^,

?/ = 2а;.

5.

у = cos ж,

у = sin ж,

ж = 0

(0 < ж < 7г/4).

6.

у = sin^ ж,

2/ = 0,

а; = 7г/2

(0<ж<7г/2) .

7.

2/ =

е^,

2/ =

1,

а:=:1.

8.

у =

\пх,

у =

о,

а: =

е.

9.

2

2/ =

1,

а; =

1.

X

10.

у = cos^ X,

2/ = 0

(-7г/2 < X < 7г/2).

Ответы.

1.

1б7г/15.

2.

(бтг^ -

48)/(б7г).

3. Зтг/Ю.

4. 1б7г/15.

5. 7г2/4 -

1/2.

6.

37rVl6.

7.

7г(е2

-

4е +

5)/2.

8.

7г(е

- 2).

9. 7г(3-41п2).

10. 37г78.

Г л а ва 9 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

При изучении темы КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ вы по­ знакомитесь с понятиями криволинейных интегралов первого рода (по длине дуги) и второго рода (по координатам) от функций двух и трех переменных и научитесь вычислять их вдоль различных плоских и пространственных кривых, заданных параметрически, в декарто­ вых и в полярных координатах, приводя криволинейные интегралы к определенным.

С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить про­ изводные функций, задающих кривую, решить системы уравнений, определяющие граничные значения параметра, вычислить получен­ ные вами определенные интегралы и проверить правильность полу­ ченных вами результатов.

9.1. Криволинейные интегралы первого рода

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить криволинейный интеграл

/f{x,y,z)dl,

L

где L — часть гладкой кривощ заданной параметрически

X = a:(t),
y = y{t),	ti<t<t2,
z = z{t),
и dl — дифференциал длины дуги.

9.1. Криволинейные интегралы первого рода

203

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Криволинейный интеграл первого рода по кри­ вой L определяется формулой

j f{x,y,z)dl = j f{x{t),y{t),z{t))^x'{tY + y'{tY-\-z'{tYdt. (1)

Подчеркнем, что криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления обхода кривой и всегда t\ <t2-

1.	Вычисляем x'{t), y'{t), z'(t) и dl = y/x'{t)'^ + y'{ty + z'{t)^	dt
2.	Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1) и записы­
ваем ответ.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если граничные точки кривой L M{xi,yi,zi)		и

^{х2^У2, Z2) заданы в декартовых координатах, то ti и ^2 определяем, решая системы уравнений

xi =x(ti),	(	Х2 =x{t2),
yi = y{ti),	I	2/2 = 2/(^2),
zi = ziti);	[	Z2 = 2(^2).

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если кривая задана как линия пересечения двух поверхностей:

ГFi(x,2/,z)=0,

\F2{x,y,z) = 0,

то ее необходимо параметризовать.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если плоская кривая задана уравнением у = у{х) (а < ж < 6), то дифференциал длины дуги равен dl = yjl -h y'{xY dx и формула (1) имеет вид

	ь
I	/(х, y)dl = I /(х, у{х)) VI + У\х)^ dx.	(Г)
L	о
Если плоская кривая задана в полярных координатах {х =		gcostp,

у = QsiiKf) уравнением д = д{(р) {а < (р <Ь)^то дифференциал длины дуги равен

dl = ^g{ip)''-{-g'{ipydip.

204	Гл. 9. Криволинейные интегралы
и формула (1) имеет вид
	ъ
1 f{x,y)dl=	/ f{g{^) cos V?, д{(р) sin (р) у/д{(р)'^ + Q'{(р^ dip.	{I")

ПРИМЕР 1. Вычислить криволинейный интеграл

Z2

/ х^ + у^ dl,

L

где L — первый виток винтовой линии

X = cost,
y = smt,	0 < t < 2 7 r .
z = t,

РЕШЕНИЕ.

1. Вычисляем: x'{t) = - sint, y'{t) = cost, z'{t) = 1, d/ = y/2dt и

2. Подставляем эти результаты в формулу (1) и вычисляем опре­ деленный интеграл:

2	27Г	_	_
	Г		8V27r3

	L	о
Ответ. /	- ^ - — - dl = 8\/27гЗ
J	х^ Л-у^

L

ПРИМЕР 2. Вычислить криволинейный интеграл

{x~y)dl,

L

где L — отрезок прямой от точки Л(0,0) до точки Б(4,3).

РЕШЕНИЕ.

1. В данном случае уравнение прямой есть у = Зж/4 (О < ж < 4) и, следовательно, у'{х) = 3/4 и dl = 5/4 cZt.

9.1. Криволинейные интегралы первого рода

205

2. Подставляем эти результаты в формулу (1') и вычисляем опре­ деленный интеграл:

	1 {x-y)dl=	I (х- -жj	1^^=2'
	L	О
Ответ.	{х - y)dl = -.

L

ПРИМЕР 3. Вычислить криволинейный интеграл

Г

у

/ arctg — dl,

J

X

L

где L — часть спирали Архимеда Q — ^

(О < v^ < 7г/2).

РЕШЕНИЕ.

1.

Вычисляем:

^'(^^) =

1, d/

= д/(/р2 -\r\d(p и f{x,y)

= (/?, так

как

arctg (tg (р) = (f при О < ip < 7г/2.

2. Подставляем эти результаты в формулу (1") и вычисляем опре­

деленный интеграл:

farctg^dl=

/"^V^2 + l d ^ = i(¥>2 +1)3/2

24

Ответ.

/

У ^,

(7г2 +

4 ) 3 / 2 - 8

arctg - d/

/J

X

24

Условия ЗАДАЧ. Вычислить

криволинейные

интегралы.

ч

I/

— часть кривой

х

= t — sint,

у =

1 — cost

1.

/ 2/^(i/,

(О < t < 27г)

(ар?са

циклоиды).

2.

zdl^

L — часть кривой х

=

tcost,

у =

tsint,

z

= t

L

(О < t < 7г) {первый виток конической винт,овой линии).

206

Гл. 9. Криволинейные интегралы

3.

/ (ж^ + 2/^4- z^) dl^

L

—

часть

кривой

х = cost,

у

=

sint,

Z ~ 2t {О < t < тт)

[первый

виток винтовой

линии).

A.j^ydl,

L

-

паст,

приео,

. = t,

у

= f 12,

г

=

t^Z

L

{0<t<

1).

5.

/ y/ydl^

L — часть

параболы

у — х^

от точки

А(0,0) до

точки

L

Б(2,4).

6.

xdl,

L —

отрезок

прямой

от точки

Л(1,0)

до

точки

B{Q,2Y

7.

{х -\- у) dl^

L — граница треугольника

с вершинами

(0,0),

(1,0)4о,1).

8. / л/хМ-^б?/, L — окруэюностъ х'^ -\- у"^ = 2х.

L

9

L

10. / \у\ dl,	L	— лемниската Бернулли		д =	^/cos2(p.
L
,	64	„	(2 + 7г2)3/2 _ 2\/2	,	27гч/5(3 + 1б7г2)	.
Ответы. 1.	- .	2.	^	. 3.

. . ^ ( 3 V 3 - i . i b i l M ) . 5 . > - - i ) . e . f . r . i . V 2 .

8. 8. 9. —. 10.2(2-72).

О

9.2. Криволинейные интегралы второго рода

207

9.2.Криволинейные интегралы второго рода

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить криволинейный интеграл

/ Р(ж, 2/, z) dx + Q(x, 2/, z) dy + R{x, y, z) dz

L

где L — часть гладкой кривой, заданной параметрически

X =	x{t),
у = y{t),		ti<t< ^2,
z =	z{t).

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Криволинейный интеграл второго рода по кри­ вой L определяется формулой

/ Р(ж, г/, z) dx -Ь Q{x, у, z) dy + R{x, у, z) dz =

(1)

j[P{x{t)^),z{t))x\t)^-Q{x[t)^),z{t))y\t)

+ R^

ti

1. Вычисляем x'{t), y'{t) и z'[t).

2. Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1) и записы­ ваем ответ.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если граничные точки кривой L				M{xi,yi,zi)	и
^{х2,2/2, ^2) заданы в декартовых координатах, то ti				и ^2 определяем,
решая системы уравнений
XI = x ( t i ) ,	(	Х2	=x{t2),
2/1 = y{ti),	I	У2= 2/(^2),
Zl = Z{ti)]	[	Z2	=z{t2).

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если кривая задана как линия пересечения двух поверхностей:

ГFi(a:,2/,z) = 0,

\F2{x,y,z)=0,

то ее необходимо параметризовать.

208	Гл. 9. Криволинейные интегралы

ПРИМЕР 1. Вычислить криволинейный интеграл

Гу

/ -3 dx — Зх dy -\- X dz

L

ПО части кривой L, заданной параметрически

X = 2 cos	t,
y = 2smt,	0 < t < ~ ,
z =	1-2cost-2smt.

	РЕШЕНИЕ.
	1.	Вычисляем: x'{t)	= —2sinf, y'{t)	= 2costH z\t) = 2sint-2cos 1
	2.	Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1):
/		— dx — Sxdy + xdz	=
L	3
		7г/2
=		/ ~ sint(-2sint)	- 6cost(2cost) 4-2cost(2sint - 2cost) dt =
		0
				13
		2//3 dx — 3xdy + xdz = 2 —--тг.
		/
		L
	ПРИМЕР 2. Вычислить криволинейный интеграл
			I {х — y)dx-\-	dy -\- zdz
			L

от точки М(2,0,4) до точки 7V(—2,0,4) {у > 0) по кривой L, образо­ ванной пересечением параболоида z = x^ +у'^ и плоскости z = 4,

РЕШЕНИЕ. В сечении получается окружность

^2 4- 2/2 = 4, 2 = 4.

9.2. Криволинейные интегралы второго рода

209

Поэтому параметрические уравнения кривой L имеют вид

X = 2 cos t,

у = 2sm t,

z= A.

1.Вычисляем: x\t) = -2sint, y'{t) = 2cost и z'{t) = 0. Определяем ^i и ^2 из условий

2 = 2costi,		(	—2 = 2cost2,
0 =	2sinti,	I	0 =	2sint2,
4 =	4;	[ 4 =		4.

Учитывая, что у > О, получаем ti = О и ^2 = тг.

2. Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1):

тг

I [х — y)dx-\- dy -\- zdz = / [(2cost - 2sint)(-2sint) + 2cost]c?t = 27г.

L

0

Ответ. / {x — y)dx-\- dy -\- zdz = 27Г.

L

Условия ЗАДАЧ. Вычислить криволинейные интегралы.

1.

/ ( , ^ -

.^) .X + 2уг dy -

.^ d.,

L -

паст.

.риеоП . = t,y

= t^

Z = t^

L

до точки

N{1,1,1).

от точки М{0,0,0)

2.

(2 — y)dx-\-xdy,

L

—

арка

циклоиды

х

=

t

— sint,

L

: l - c o s t

( 0 < t < 2 7 r ) .

3.

ydx

+ zdy-\-xdz,

L

—

первый виток

винтовой

линии

L

у = sint,

z — t.

•- cost,

4. / ( X

4- y)d. +

( . - y)dy,

L -

оппжпосгп.

(x -

1)^ +

(,

-

1 ) - 4 .

L

^	f	(x -{- y)dx		— (x — y)dy		_	9 r>
5.	/	-^^	:z	::	,	L —	окруэюностъ x^ -\- y^ = 1.
	J		x^ Л-у^