Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика (Решебник)

150		Гл. 7. Неопределенный интеграл
Ответы.
1.	хе^-\-С.	2.	X arcsinж +		\ / l	-	ж^ + С.
3.	2х sin а: — ж"^ cos а: 4-2 cos ж +					С
4.	{х + 1)^ sinar + 2{х + 1) cos ж + С.
5.	— (21па: -	1) + С		6. -	ж ctg ж-f In sin х + С.
7.	— ( s i n а: + 2 cos ж) +			С
	5
	^2	2	1
8.	— a r c t g х -	-х'^	-\- -	1п(х^ + 1) +			а
	3	6	6
9.	^ (sin In а: - cos In х) -f С.				10. е"^ {х^ - 2а; + 2) + С.

7.3.Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти неопределенный интеграл

I	апх"^ + an-ix"^'^		+	... + aix -f ао
	brnx"^ + b^_ix"-i		+ ... + bix + Ь( c?x.
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Введем обозначения:
Рп{х)		= апх'^ + an-ix"^'^		4- ... + aix + ао,
Qm{x)		= bmX"^ + bm-lX'^''^		+ . . . + biX +	Ьо.
Сравним степени числителя Рп{х)				и знаменателя	Qm{x).

Если подынтегральная функция — неправильная рациональная дробь, т.е. степень числителя п больше или равна степени знаме­ нателя 771, то сначала выделяем целую часть рациональной функции, поделив числитель на знаменатель:

-J±± ^ М„_гп{х) + у ^ ^

{к<т).

7.3. Интегрирование рациональных функций

151

Здесь многочлен Рк[х) — остаток от деления P-nip^) на Qrui'^)-, причем степень Рк{х) меньше степени (5т(^)-

2. Разложим правильную рациональную дробь

Pk{x)

Qm{x)

на элементарные дроби. Если ее знаменатель имеет простые вещест­ венные корни Г1,Г2,...,Г^, т.е. Qm{x) = {Х - ri){x - Г2) ...(ж - Гт), то разложение на элементарные дроби имеет вид

Рк{х) _	Ах	А2		Am
Qrn{x)	X-ri	Х-Г2	'"	Х-Гт'

3.Для вычисления неопределенных коэффициентов Ai, ^ 2 , . . . , Am приводим к общему знаменателю дроби в правой части тождества, после чего приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х

вчислителях слева и справа. Получим систему т уравнений с т неизвестными, которая имеет единственное решение.

4.Интегрируем целую часть (если она есть) и элементарные дроби, используя табличные интегралы, и записываем ответ

''"(^' ^

/ Wm	\Х)
= F{x) + Ailn\x~ri\		+ Л2 1п|а:-Г2| -h ... + Л^ In |ж - г^| + С,
где F{x)	= JМп-т{х) dx — многочлен степени п — т-\-1.
ПРИМЕР. Найти неопределенный интеграл
		2х^ - 40а; - 8
	/	х{х + А){х-2) dx.

РЕШЕНИЕ.

1.Подынтегральная функция — неправильная рациональная дробь, так как п = т = 3. Выделим целую часть:

2х^ - 40ж - 8 _	4x2 + 24х + 8
х{х + 4)(ж - 2)	х{х + 4)(х - 2) *

2. Так как знаменатель последней дроби имеет три различных ве­ щественных корня X = 0^ X = —4 и ж = 2, то ее разложение на

152	Гл. 7. Неопределенный				интеграл
элементарные	дроби имеет вид
	4^2 + 24а; + 8 _	Ai			А2		A3
	х{х-\-4:){х - 2)	X	~1		:—7	"Ь	х - 2'
				a:-f4

3. Чтобы найти коэффициенты ^ 1 , ^ 2 , ^ 3 , приводим к общему знаменателю дроби в правой части тождества:

4а;2 + 24^ + 8	_ Ai{x'^ + 2ж - 8) -f ^2(^2 -	2х)	+ Аз{х'^ + 4ж)
х{х + 4){х - 2)	х{х + 4)(а; -	2)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях слева и справа, получим систему трех уравнений с тремя неизвест­ ными:

A i +	^ 2 + Аз = 4,
2Ai -	2А2 + 4Аз = 24,
- 8 ^ 1	= 8.

Эта система имеет единственное решение Ai = — 1, А2 = — 1, A3 = 6. Следовательно, подынтегральное выражение имеет вид

2ж^ -	40ж - 8	^ /	1Л	/	1
х{х +	4:){х-2)	\	х)	\	а: +	4 /	х — 2

4. Интегрируем целую часть и элементарные дроби, используя табличные интегралы:

/• 2 ж З - 4 0 х - 8 ,

[^ ,

П

,

/ ^ 1

,

f

^

,

/

""7

7Г}

;:7 dx =

J

/ 2ах-\-

J

I

—ах-^

J х + А

ах—

х-2

ах =

J

х{х

+ А){х-2)

X

J

=

2ж 4- In |а:| + In |х -f 4| -

6 In |ж -

2| + С.

Г 2x^-i0x-S

,

^

,

|х||д: +

4|

^

Ответ. /

————

-г- dx = 2x + In

{х -

—^ + С.

J

х(ж + 4)(а:-2)

2)^

Условия ЗАДАЧ. Найти

неопределенные

интегралы.

1

[

^^ + 2^ + 6

rf^

2

[

'-

dx

•

J {х-1){х-2){х-4)

•

J

{х-1){х

+ 2){х + 3)

f

х^ + 1

f

1

J ( x 2 - l ) ( x 2 - 4 )

У a;4-13a;2 + 36

7.4. Интегрирование рациональных функций

153

			^	-3x	2 + 2
	Г ж^ + Зж^					dx.
	J	^	2	^
Ч		2ж^ -	Sx^ + 4х - 4			,
^	,
7.	/	;	гт^		TT-dx.
		х{х — 1){х - 4)

,Г х^ + X

J х(х-2)|2)(х + 2) *

х^ + 2x2 - 15х + 18	dx.
^' J х(х-3)(х + 3)

		4 -	4х^ -	8x2 _|- 5х - 10
^•	J'	{х'	1)(х - з)(х + 2) '^''-
. 0 . /		2х^ -	4а;'* + бх^ - ISx^ + 8 dx.
			ж^ -	5х^ + 4х
Ответы.
1.	In	{x-l)^{x-Af			+ С.			1	| ( х - 1 ) ( х + 3)3|
							^-12 ^^—^^Tw—
		( х - 2 ) 7
3. i i n i ^ + l U ^ ^ + a								1	(^-зЯх + 2|3
								60	(х + 3 ) 2 | х - 2 | 3 ^
	12	(х - 1)4|х + 2|5
5.	— + х^ + In х - 1
	4		х + 1
6.	х^	х^			х2(х-2)5		+ С.
	— + — +4 х + 1п				(х + 2)3
7.	2х + 1п		( х - 4 ) ( х + 1)^			+ С. 8. х + 1п (х + 3)3(х-3) + С.
				X
9.	х^ + In		(х - 1)2(х + 2)			+ С.
			X — 3
10. х^ + In			х2(х-2)2(х +			1)3(х-1)		+ С.
				(х + 2):

7.4.Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти неопределенный интеграл

I а„х" + an-ix""'^ + ... + ахх + ао dx. brnX"^ + Ь^_1Х^-1 + ... + bix + Ьо

154	Гл. 7. Неопределенный интеграл

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1.Введем обозначения:

Рп{х) — апХ^ + an~ix'^~^ + ... + aix + ао,

Сравним степени числителя Рп{х) и знаменателя Qmix)-

Если подынтегральная функция — неправильная рациональная дробь, т.е. степень числителя п больше или равна степени знаме­ нателя т , то сначала выделяем целую часть рациональной функции, поделив числитель на знаменатель:

Здесь многочлен Pk{x) — остаток от деления Рп{х) на Qmix), причем степень Pk{x) меньше степени Qmix)-

2. Разложим правильную рациональную дробь ——-^—г на эле-

Qm{x)

ментарные дроби. Если ее знаменатель имеет вещественные корни Г1, Г2,..., Г5 кратности ni, П2,. •., rig соответственно, т.е.

Qm{x) - (Х - П)"^ {Х - Г2Г • • • (^ - ГтГ' ,

ТО разложение на элементарные дроби имеет вид

Рк{х) _	All	М2			^ini
Qni[x)	x-Ti	[x-TiY	'"		(a:-ri)^i
	ж -	Г2	(a: - гг)^		*		(ж -	гз)"^
			,		Asl		As2	.	,	^ s u s
			. . . H	X — Tg			{x — Гз)"^		. . . i - •	{x — r^)"'^
						r 7		T -f-

3. Чтобы найти коэффициенты Ац, Ai2,..., Asn^ ? приводим к обще­ му знаменателю дроби в правой части тождества, после чего прирав­ ниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях слева и справа. Получим систему ni+n2 + .. --{-TIS уравнений с ni-f П2 + .. .Ч-Пд неизвестными, которая имеет единственное решение.

7.4. Интегрирование рациональных функций

155

4. Интегрируем целую часть (если она есть) и элементарные дро­ би, используя табличные интегралы, и записываем ответ

/	Qmix)
=	F(x) + A n In I x - n l + ^ i M H +	... + -	,f^"'	.	,
	X - ri	[1 -	ni)[x	- ri)^^	^

где F{x) = f Mn-rn{x) dx — многочлен степени n — m + 1. ПРИМЕР. Найти неопределенный интеграл

х^	-f бх^ + 13а: +	б	dx.
/	(х-2)(а: + 2)з

РЕШЕНИЕ.

1.Подынтегральная функция — правильная рациональная дробь.

2.Разложим ее на элементарные дроби. Так как знаменатель имеет два действительных корня: ri = 2 кратности единица и Г2 = —2 кратности три, разложение на элементарные дроби имеет вид

х2 + ба:2 +	13ж + б	All	^21	^22	^23
( х - 2 ) ( х	+ 2)з	х-2	х + 2	(ж+ 2)2	(х + 2)з'

3. Чтобы найти коэффициенты Л ц , . . . , А23, приводим к общему знаменателю дроби в правой части тождества:

х^	+ бж^ + 13ж + б _
	( х - 2 ) ( х + 2)3 "
^	Aii(x + 2)^ + ^21(3: - 2)(х + 2)2 + А22(а: - 2)(а: + 2) + ^23(0: - 2)
	( х - 2 ) ( х + 2)з

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях слева и справа, получим систему четырех уравнений с четырьмя не­ известными

All +	А21	= 1,
6А11 + 4^21 + А22		= б,
12Лп -	2^21 +	^23 = 13,

8^11 - 4^21 - 4^22 - 2^23 = б.

156 Гл. 7. Неопределенный интеграл

Эта система имеет единственное решение:

Ail = l, ^21= О, ^22= О, ^23 = 1.

Следовательно, подынтегральное выражение имеет вид

х^ + бх^ + 13а: + 6	1	1
(ж-2)(х-Ь2)з	х-2	+ (ж 4-2)3'

3. Интегрируем сумму элементарных дробей, используя таблич­ ные интегралы:

/	т: dx+	7	:^тт dx = Ь |х -		21 -	-ттт + С.
J х-2	У	(х + 2)з		'	' 2(х + 2)2

Ответ.		х^ + бх^ + 13х + 6	.„ + С.
	/	/ —• ' ~ „,,'—^^--—^dx—bi\x-2\-^,

Условия ЗАДАЧ. Найти неопределенные интегралы.

1 -	-т?	7Т7 Trdx.
у	х2(х + 1)(а;-1)
f	x' + l		dx.
J	x(x-l)3

fx^ + l

у( x - l ) 3 ( x + 3) dx.

/•	x2	- 2x + 3
• У	x ( x	- l ) 2 ( x - 3 ) dx.

a;2 - X 4-1dx.

Ответы.

х^ - бх^ + 9х + 7

2.	/ •	( х - 2 ) 3 ( а ; - 5 )		dx.
	У
4	/-	2 ^ 2
		x' +	dx.
6'	J	(X-1)(X + 1)2
	J	2)2
8•		x2(x5x3 _- 172.2 + 18a; -			5
	У	(a: l)3(x -		2)	dx.
10	У {x-l)3(x + 1) dx.

1.	\ -	X ~ 1	+ - + a	2. In |x - 5| + 2(x - 2У + a
		x + 1
3.	In	x - 1		+ a
		X	( x - l )

4. 1,„|(. + 1)(.-,)3| + _ 1 - ^+ c.

		7.Ъ. Интегрирование рациональных функций			157
5.	тгт: Ь	х-~1	4(ж-1)2	8(ж - 1) + а
	32	ж + 3
6.	-7 In	X	1	-^ + С.
		а : - 2
	4		4(ж - 2)	2ж
7. linK^-fc:^-bх--1i. + a
				1
8.	1п|(х-1)2(а;-2)^| + 2(х - 1)2 + С.
9.	- In	ж + 1	2{х - 1)	+ С.
	4	х-1

^»Ц^-2 ^^|<^-1)"(^+1)|-„,1 „, „,9 ,, + а

7.5.Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти неопределенный интеграл

С апх'^ + an-ix"^'^ + ... + aix + QQ , J bmx"^ + Ьт-гх""-^ -f ... + bix + Ьо

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Введем обозначения:

Рп{х)	= апХ^ + an-ix^~^	+ ... + aix + ао,
Qmix)	= ЬтХ"^ + bm-lX"^'^	+ . . . + 6iX + Ьо-
Сравним степени числителя Рп{х)		и знаменателя (5тп(2^)-

Если подынтегральная функция — неправильная рациональная дробь, т.е. степень числителя п больше или равна степени знаме­ нателя т , то сначала выделяем целую часть рациональной функции,

поделив числитель на знаменатель:
^^(^)	=.М._^(х) + ^ ^	(А:<т).
Qrn{x)	Qm{x)

158	Гл. 7. Неопределенный интеграл

Здесь многочлен Рк{х) — остаток от деления Рп{х) на Qmi^)^ причем степень Рк{х) меньше степени Qmix)-

2. Разложим правильную рациональную дробь

Рк{х)

Qm{x)

на элементарные дроби. Если ее знаменатель имеет простые комп­ лексные корни Гк = Uk :t ivk^ т.е.

Qm{x) = (Ж^ + PiX + qi){x^ -f P2X + 92) • • . {X^ + PsX + ^5),

где

ж^ -^PkX -\-qk = [x- {uk + ivk)][x - {uk - ivk)],

TO разложение на элементарные дроби имеет вид

Рк{х) _	Aix + Bi	А2Х 4-	Б2	AsX + Bs
Qrn{x)	x'^-\-pix-\-qi	x'^-\-p2X	+ q2 '"	x"^-\-PsX-\-qs

3.Для вычисления неопределенных коэффициентов Ai, А2,..., А5,

Б1 , . . . , Bs приводим к общему знаменателю дроби в правой части тождества, после чего приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях слева и справа. Получим систему 2s уравне­ ний с 2s неизвестными, которая имеет единственное решение.

4.Интегрируем элементарные дроби вида

Ах + В х"^ Л-рх-\- q

Выделяем в знаменателе полный квадрат {х + р/2)^ + (^ — Р^/4) (по­ скольку q—p'^/A > О, можно обозначить д—р^/4 = а^) и делаем замену переменной t = х — р/2. Получим

J x^+px + q	J	f2 + a2
	J	t^+a^	J	t^-^a?
=	— ln(r + or) Ч- -^				arctg - =
	2			a	a

7.5. Интегрирование рациональных функций					159
^	1^/	2 , ^^ , .N ,	Ар/2 + Б	^^	ж + р/2
— ^	1п(а:	+ т е + 0')Н	,	arctg	,

5. Складываем результаты интегрирования целой части (если она есть) и элементарных дробей и записываем ответ.

ПРИМЕР. Найти неопределенный интеграл

2ж^ + Зж^ + Зх + 2	dx.
/ (а:2 + х + 1)(х2 + 1)

РЕШЕНИЕ.

1.Подынтегральная функция — правильная рациональная дробь.

2.Разложим ее на элементарные дроби. Знаменатель имеет две пары комплексно-сопряженных корней: ri^2 = —1/2±г\/3/2 и гз,4 = i^- Следовательно, разложение на элементарные дроби имеет вид

2х^ + Зж2 + Зж + 2	Aix + Вх	А2Х + Бз
(а;2 + ж + 1)(х2 4-1)	х2 + х + 1	х2 + 1

3. Чтобы найти коэффициенты Ai, ^2, J5i, ^2, приводим к общему знаменателю дроби в правой части тождества:

2х^ + 3x2 + Зж + 2 ^ (^^д, _^ Bi)(x2 + 1) -f- (А2Х + Б2)(х2 -f X + 1)

( х 2 + Х + 1)(х2 + 1)

( х 2 + Х + 1)(х2 + 1)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях слева и справа, получим систему четырех уравнений с четырьмя не­ известными

f А1 + А2	= 2 ,
^2 + ^ 1 + 5 2 =		3,
^ 1 + ^ 2	+ ^2 =	3,
Б 1 + Б 2	= 2 .

Эта система имеет единственное решение

A i - 1 , А2 = 1, Б1 = 1, Б2 = 1.

Следовательно, подынтегральное выражение имеет вид

2х^ -h 3x2 4- Зх 4- 2

д, _^ ;|^

^_^1

( x 2 - h X + l ) ( x 2 + l )

x 2 - f x - f l

Х2 + Г