Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика (Решебник)

190	Гл. 8. Определенный интеграл

7. ———.	8. "ТТ. 9.	hln	•=.	1 0 . - .
45	45	3	l - f\/2	4

8.7.Вычисление площадей в декартовых координатах

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить		площадь	области,	ограничен­
ной графиками функций у =	fi[x) и у = /2{х)		{fi{x) >	/2(2:) или
f\{x) ^ /2(2^) дл^ всех точек	области)	и, возмооюно, прямыми х = а
и X = Ь.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ область D задана системой неравенств

{а < ж < 6,

то площадь области D вычисляется по формуле

SD= 1 {v{x) - и{х)) dx.	(1)
J а

Если неравенства, определяющие область D, неизвестны, т.е. не­ известны а и 6 и неизвестно, какая из функций f\(x) и /2(3:) больше другой на (а, 6), то выполняем следующие операции.

1. Находим а и 6 как абсциссы точек пересечения графиков функ­ ций f\{x) и /2(2:), т.е. решаем уравнение

/i(x) = /2(a:).

2. Исследуем знак разности fi{x) — /2(2^) на [а,6]. Для этого до­ статочно вычислить значение /i(x) — /2(2:) в какой-нибудь точке из (а,6). Если оно положительно, то f\{x) > /2(2^) и, следовательно, и{х) = /2{х) и v{x) = fi{x). Если оно отрицательно, то fi{x) < /2(2^) и, следовательно, и{х) = /i(x) и г;(х) = /2(2:).

3. Применяем формулу (1) и находим SD-

Записываем ответ, не забывая о размерности.

8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах

191

П Р И М Е Р . ВЫЧИСЛИТЬ площадь области, ограниченной графиками функций

2/ = х^ - 4ж + 3, у = -х^ + 2х + 3.

РЕШЕНИЕ.

1. Находим абсциссы а и 6 точек пересечения графиков. Для этого решаем уравнение

ж^ - 4ж + 3 = -ж^ + 2а: + 3.

Получаем а = О, 6 = 3.

2. Исследуем знак функции ^р = ж^ — 4а; + 3 — (—ж^ + 2х + 3) на отрезке [а, Ь] = [0,3]. Для этого придадим х любое значение из (0,3), например х = 1. Получаем, что <^(1) = —4. Следовательно, ср < О при

X G (0,3). Поэтому ж^ -				4ж 4- 3 < -х"^ + 2а; + 3 при х G [О, 3] и область
D определяется системой неравенств
				О < X < 3,
			а;2 -	4а; + 3 < 2/ <	-х'^	+ 2х + 3.
3.	Применяем формулу (1) при v{x)					=	—х^ + 2х + 3, и{х) =
= х^ - 4ж -f 3, а = О и 6 = 3:
	/»3						/»3
SD=	Jo	(-Ж^ + 2Х + 3 - Х^ + 4Х -			3) dx =		/ (-2x2 + 6х) dx = 9.
							Jo
Ответ.		5 = 9 (ед. длины)^.
Условия			ЗАДАЧ. Вычислить площади				областещ ограниченных
графиками		заданных функций.
1.	?/ =		32 - х^,	у = -4х.
2.	?/ = ЗУх,			у = 3/х,	X = 4.
3.	X =		5 - 2/2,	X = - 4t/ .
4.	2/ =		\/е^ - 1,	2/= О,	х = 1п4.
5.	2/ =		sinx,	t/ = cosx,	х = 0		(х > 0).
6.	у — л/х,			у = 1/х,	X = 16.

192		Гл. 8. Определенный интеграл
7.	X = 27 - ?/2,	х = -6у,
8.	y = smx,	2/ = cos ж,	ж = 0	(ж < 0).
9.	у = V9 ~ х^,	2/ = О,	ж = О,	X = 3/2.
10.	у = 2/ж,	y = 5e^	г/= 2,	г/= 5.

Ответы. 1.288. 2. 14-31п4. 3.36. 4. (6\/3 - 27г)/3. 5. \ / 2 - 1 .

6.42 ~ In 16. 7.288. 8. l + V^. 9. (37г+V3)/4. 10.3.

8.8.Вычисление длин дуг у = f[x)

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить длину кривой^ заданной урав­ нением

У = f{x)

и ограниченной точками с абсциссами х = а и х = Ь.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Длина I кусочно гладкой кривой у = /(ж), огра­ ниченной точками с абсциссами ж = а и а; = 6, равна

о

j^flTWfdx. (1)

1.Находим у' = /'(х).

2.Вычисляем дифференциал длины дуги

dl = ^Jl^{y'Ydx,

3. Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1). Залисываем ответ, не забывая о размерности.

ПРИМЕР . Вычислить длину дуги кривой

У =

-z

, 0 < a ; < 3 .

8.8. Вычисление длин дуг у = f{x)

193

РЕШЕНИЕ.

1.Дифференцируя уравнение кривой, получим

			У =		= - shx .
2. Вычисляем дифференциал длины дуги:
	dl = л/l + (у')^ dx = V 1 + sh^xdx							=		chxdx.
3. Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1):
			-f/о		= SYIXIQ = shS.
			1= I chxdx
			Jo
Ответ. Z = sh3 ед. длины.
Условия ЗАДАЧ. Вычислить					длины дуг заданных кривых.
1.	у = ]пх,	2\/2<а:<2\/б.
2.	2/ = In cos ж,		О < а: < 7г/б.
3.	2/ = е^,	1п\/3 < а: <1п\/8.
4.	г/= In sin ж,		7г/3 < ж < 7г/2.
5.	2/ = 2v^,		1/3 < ж < 1/8.
6.	у = chx,		О < а; < 1.
7.	у = х^/2,		0 < х < 1 .
8.	у = 1-1пх,		\/3<x<VS.
9.	у = 1-	сЬж,	0 <	а:< 3.
10. у = y/l — x^ + arcsina:,					О < х < 1/2.
Ответы.			2	1пЗ		1	3		1пЗ		, 3
		1. 2 + 1п-7=.		2 . - — .		3.1 + - I n - .			2	4 . - — .	5. 2 + I n - .
			^Д	2		2	2				2
e . shl .	r , ^ + Hl		+ V2)	8.1 + ib^ .			9.sh3.			10.2(v/3-v/2).

194	Гл. 8. Определенный интеграл

8.9. Вычисление длин дуг х = x{t)^ у = y{t)

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить длину дуги кривощ заданной

параметрически	а; = Ф)^	a<t<e
I
\y	= y{t),	" ^ * ^ ^ -

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ кривая задана уравнениями в параметри­

ческой форме
"^ " ''(*^'	a<t<e

где X = x{t) и у = y{t) — кусочно-гладкие функции, то длина / дуги кривой определяется формулой

1^ j VWTWdt.	(1)
а

где а и /3 — значения параметра, соответствующие граничным точ­ кам дуги.

1.Находим x[vLy[.

2.Вычисляем дифференциал длины дуги

dl = ^/ШTШdt.

3. Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1). Записываем ответ, не забывая о размерности.

ПРИМЕР .	Вычислить		длину	дуги кривой, заданной параметри­
чески	Г x = {t^		-2)smt^-2tcost,
					0 < t < 7 r .
		, 2 4 - - - . . п. _..__.
	I 2/ = (2 - t2)cost + 2tsint,
РЕШЕНИЕ.
1. Находим х[ и у[ :
	х[ =		t^ cos t,	у[ =	t^ sin t.
2. Вычисляем дифференциал длины дуги:
dl =	y/{x[)'^-j-{y[)^dt =			\/t^cosH	+ t^^4;dt = t'^ dt.

8.9. Вычисление длин дуг х = x{t), у = y{t)

195

3. Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1):

тг

7Г

rdt= — У

Ответ. / = 7г^/3 ед. длины.

Условия ЗАДАЧ. Вычислить длины дуг заданных кривых.

	1.	X =	t — Sint,
		у = 1 — cost,
	2.	X = 2 cos t,
		у = 2sint,
		=	cos^ t,
			sin^ t,

0 < t < 27Г.

0 < t < 7г/3.

0 < t < 7Г

4.	{^		= 2 cost — cos2t,				0 < t < 27Г.
				2 sin t — sin 2t
	I У
5.	j	X = e*cost,				0 < t	< 1.
	(^ у =			e*sint,
6.	j	X = e*sint,				0 < t < 7Г.
	I	2/ =		e*cost.
		X = 3cost,				0<t<	7г/6.
		у = 3sint,
		X =		cost-ft sin t,			n / ^ /	/o
		у = sint — tcost,
9.		X =		4cos^t,			0 < t < 7г/3.
		2/ =		4sin^t,
10.		X = 2(t — sint),				0 < t < 7г/6.
		у = 2(1 -			cost).
							7Г < t < 7г/2.
Ответы.				1.8.	2. 27Г/3. 3.3. 4.16.			5. \ / 2 ( e - l ) . 6. \ / 2 ( e ^ - l ) .

7. 7г/2. 8. TTVIS. 9. 3. 10. 8 - 4\/2.

196	Гл. 8. Определенный интеграл
8.10Вычисление длин дуг д = д{(р)
ПОСТАНОВКА	ЗАДАЧИ. Вычислить	длину дуги кривой, заданной
уравнением в полярных координатах
	д = д{^),	а<(р<(3.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Если кусочно гладкая кривая задана уравнением в полярных коор­ динатах д = д{(р), то длина дуги равна

1 = JVQi^y + Q'i^yd^,	(1)
а

где а и /3 — значения (р, соответствующие граничным точкам дуги.

1.Находим д'{'^)>

2.Вычисляем дифференциал длины дуги

3.Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1). Записываем ответ, не забывая о размерности.

ПРИМЕР. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в

полярных координатам:
g = Qsm(p,		О < (р <7г/3.
РЕШЕНИЕ.
1. Находим д'{(р)'.	д'[(р) = 6cos<^.
2. Вычисляем дифференциал длины дуги:
dl = \^д{(рУ + д'{^У	dip = у 36sin^ (^ + 36cos^ (pd^p = дdip.
3. Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1):
	7Г/3
/ =	f 6dip=	6ip\l^^ =27Г.

О

Ответ. I = 27Г ед. длины.

8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений

197

Условия ЗАДАЧ. Вычислить длины дуг заданных кривой.

1. g = ip^	0<(р<1.	2. g = cosip,	7Г
			О < (/? < —.
	7Г

3.	д = 2sirnp,		-^ <^ <'^-
5.	g = l-Vcosip,		0<(^<7г .
7.	^ =	l + sin(^,	- 7:<<^<7Г -
			2 - ^ - 2
9.	^ =	3sin(/?,	7Г
			О < V? <•-•.-.
			6

4.	^ =	1 — cos (^,	О < (^ < тг.
6.	^ = 6^^,		О < v? < 27Г.
^-	^ =	1 ~ sin(^,	77 — ^ -	"7Г-
	^	^ ' 2 - ^ -		2
10. д = 3cos(/?,			7Г
			О < v? < —.
10. ^ = 3cosv?,			О < v? <о—.

Ответы. 1. [\/2 4-ln(l-f	\/2)]/2.	2.	7г/2. 3. тг. 4. 2. 5. 2.
6. V5(e^''-1)/2. 7. 2. 8.	2. 9.	7г/2.	10. тг.
8.11, Вычисление	объемов

по площадям поперечных сечений

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить объем тела, если известны площади его поперечных сечений.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ S = S{X) — площадь сечения тела плос­ костью, перпендикулярной к оси ОХ и пересекающей ее в точке с абсциссой ж, то объем части тела, заключенной между плоскостями X = Xi и X = а:2, определяется формулой

V = I S{x)dx.

(1)

XI

1.Находим S{x).

2.Подставляем S{x) в формулу (1) и вычисляем определенный интеграл.

Записываем ответ, не забывая о размерности.

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача, если известны пло­ щади сечений плоскостями, перпендикулярными оси 0Y {S{y)) или оси OZ {S{z)).

198	Гл. 8. Определенный интеграл

ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ объем тела, ограниченного поверхностями

РЕШЕНИЕ. ЕСЛИ S = S{z) — площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси 0Z и пересекающей ее в точке с аппликатой Z, то объем части тела, заключенной между плоскостями z = zi и Z = Z2y определяется формулой

V = f S{z)dz,

(2)

zi

1. Сечение заданного тела плоскостью 2: = const определяется не­ равенством

— -f—	< 1	,
16 9	-	196'

т.е. при \z\ < 14 является эллипсом

196x2 1962/2 16(196-2:2) 9(196-z2)

с полуосями

а=	4V196 -	z2	,	,	3^196" Z2
	—			Ь =	14
	14		'

Площадь этого эллипса равна

5 =:7гаЬ= ^ ( 1 9 6 - ^ 2 ) .

Таким образом, при О < z < 7

Siz) =

^il96-z').

2. Подставляем S{z) в формулу (2) и вычисляем определенный интеграл:

7

\3

V = ^ /(196 - ^2) dz = 777Г (ед. длины)^

о

Ответ. 777Г (ед. длины) .

		8.12. Вычисление объемов тел вращения						199
Условия ЗАДАЧ. Вычислить объемы тел, ограниченных								указан­
ными	поверхностлми.
1.	Z = 4^2 +9г/2,				Z = 6.
2.	Z = 9х'^ + 42/2,				z = 6.
3.	z = 2x2 + 82/2,				г = 4.
4.		?у2	2:2		z =	0,	z = 2.
5.	Ж	9	'2'	^	z =	0,	z = 3.
6. y + 2 / ^ - 3 z 2 = l,					z - O ,		z = 1.
7. ^2 + ^ _ 2 z 2 = . l ,					z = 0,		z = 1.
8.	^+С-.^ = 1,				z==0 ,		z = 2.

Ответы. 1. Зтг. 2. Зтг. 3. 27г. 4. 47г. 5. 87г. 6. бтг. 7. бтг.

8.427Г. 9. 87Г. 10. 507Г.

8.12.Вычисление объемов тел вращения

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить объем тела, образованного вращением област,и, ограниченной графиками функций у = /1(3:) и у = /2(0;) и, возмоэюно, прямыми X = а и х = Ь, вокруг оси ОХ.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Объем тела, образованного вращением области, ограниченной кривыми у = и{х) и у = v{x) и прямыми х = а, х = Ь, где и{х) < v{x), т.е. области, определяемой системой неравенств

Га < ж < 6,

1 и{х) <у < v{x),