Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика (Решебник)
.pdf120 |
Гл. |
5. Графики функций |
|
|
lim |
— |
4-00. |
|
а:->2+0 4(2 - |
хУ |
Следовательно, прямая х = 2 — вертикальная асимптота, причем функция при приближении к ней слева и справа неограниченно воз растает (рис. 1).
"• л
Рис. 1
б) Исследуем поведение функции при х -> +оо:
х->+оо X
х^ |
1 |
х-^+оо 4(2 - х)2ж |
4' |
lim |
\f(x) |
— кх] = |
lim |
"^^ |
хУ |
'*-^ |
lim |
х{х — 1) |
= 1; |
|
|
|
|
|
4(2 - |
4 |
+00 {х - |
2)2 |
|
||
и при X —> —оо: |
т |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
lim |
lim |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
х->-оо |
X |
х->-оо 4(2 — Х^Х |
|
|
|
|||
lim |
[f{x) |
— /гж] = |
lim |
^3 |
|
|
и т |
ж(а: - |
1) |
|
4(2 - |
хУ |
4 |
-р |
-гг- = 1. |
||||||
|
|
|
|
->-оо |
(ж - |
2)^ |
|
Следовательно, 2/ = ж/4-f-1 — наклонная асимптота при х —> ±оо. За метим, что при достаточно больших положительных х f{x) > а:/4+1, т.е. при X -^ -f-oo график функции приближается к асимптоте сверху, а при достаточно больших по абсолютной величине отрицательных х f{x) < х/А -h 1, т.е. при X —> —00 график функции приближается к асимптоте снизу (рис. 2).
5.1. Общая схема построения графика функции |
121 |
Л
Рис. 2
2.Функция не обладает свойствами четности и периодичности.
3.График функции пересекает оси координат в единственной точке (0,0).
4.Находим точки максимума и минимума функции и интервалы монотонности. Для этого:
а) вычисляем первую производную: у' = х^{х — 6)/[4(ж — 2)^]. Критические точки функции, принадлежащие области определения D суть ж = О и ж = 6. Поскольку у'{0) = О и у'{6) = О, касательная к графику в этих точках горизонтальна (рис. 3);
У[ )V
X
- ^ "
Рис. 3
б) определяя знак производной, находим интервалы возрастания и убывания функции: функция возрастает в интервалах (—ос, 2) и (б,+оо) и убывает в интервале (2,6);
122 Гл. 5. Графики функций
в) при переходе через критическую точку х — О производная не меняет знак, следовательно, в этой точке экстремума нет.
При переходе через критическую точку х = 6 производная меняет знак, следовательно, в этой точке экстремум есть.
Так как у' < О при ж G (6 — 5, 6) и 2/' > О при ж G (6, 6 + 5)), то (6, 27/8) — точка минимума (рис. 4).
У' А
X
—^
Рис. 4
5. Находим точки перегиба функции и интервалы выпуклости вверх и вниз. Для этого:
а) вычисляем вторую производную
|
бх |
4(2 - хУ |
{x~2Y |
Единственная точка, принадлежащая области определения функции, в которой у'' = 0^ это точка х == 0;
б) определяя знак второй производной, находим интервалы вы пуклости вверх и вниз: функция выпукла вверх в интервале (—оо,0) и выпукла вниз в интервалах (0,2) и (2, +оо).
Отметим, что направление выпуклости соответствует расположе нию графика относительно асимптот:
при X < О функция выпукла вверх и график приближается к на клонной асимптоте снизу;
при X G (0,2) функция выпукла вниз и график приближается к вертикальной асимптоте х ~ 2 слева;
при X е (2, -foo) функция выпукла вниз и график приближается к вертикальной асимптоте х = 2 слева, а к наклонной асимптоте сверху; в) так как вторая производная меняет знак при переходе через
5.1. Общая схема построения графика функции |
123 |
точку ж = о, то (о, 0) — точка перегиба (с горизонтальной касатель ной) (рис. 5).
V
Рис. 5
6. Уточняя полученный эскиз (например, можно определить еще координаты каких-нибудь точек) и соединяя элементы графика, полу ченные в окрестностях граничных точек области определения (вблизи асимптот), критических точек и точек перегиба, получаем график функции у = f(x) (рис. 6).
Рис. 6
Условия ЗАДАЧ. Исследовать функции у = f{x) и построить их графики.
1.у = х''-Зх + 2.
А.у =
у / ^ ^ - \
124 |
|
|
|
Гл. 5. Графики функций |
|
||
Б. у = хе |
^. |
|
6. 1/ = |
—. |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
7.у |
= 1п X — 1 |
+ 1. |
8.у = -X—. |
|
|
||
|
|
X |
|
|
тх |
|
|
9. у — In cos ж. |
|
10. у — \/х'^{х |
-\-1). |
|
|||
Ответы. |
1. Асимптот нет. Точки: минимума (1,0), |
максимума |
|||||
(-1,4), |
перегиба |
(0,2). |
|
|
|
|
|
2. |
Асимптоты: горизонтальная j/ = |
0. Точки: |
минимума |
||||
( - 1, - 1/2), |
максимума |
(1,1/2), |
перегиба |
(0,0), ( - \/3, - \/3/4), |
(v/3,V3/4).
3.Асимптоты: вертикальные х = —2, х = 2, наклонная у = х. Точки: минимума (2\/3,3\/3), максимума (—2\/3, —3\/3), перегиба (0,0).
4.Асимптоты: вертикальные ж = — 2, а: = 2, наклонные у = —х (при X -> —оо), у = X (при X —> +оо). Точки минимума (—л/2,2), (v/2,2).
5.Асимптоты: горизонтальная у = О (при а; -> +оо). Точки:
максимума (1,1/е), перегиба (2,2/е^).
6. |
Асимптоты: |
вертикальная ж = О, |
горизонтальная у = О (при |
||||
а: —>• —оо). |
Точка минимума (1,е). |
|
|
|
|||
7. |
Асимптоты: |
вертикальные ж = |
О, |
а; = 1, горизонтальная |
|||
у = 1 (при X —>• ±оо). |
|
|
|
|
|||
8. |
Асимптоты: |
вертикальная а: = |
1 (ж = О асимптотой не явля |
||||
ется). |
Точки: минимума |
(е, е), перегиба |
(е^,е/2). |
||||
9. |
Асимптоты: |
вертикальные х = 7г/2 + тгк. Точки максимума |
|||||
(27гА:,0) (А: = 0,±1,...). |
|
|
|
|
|||
10. Асимптоты: |
наклонная у = ж4-1/3. |
Точки: минимума (0,0), |
|||||
максимума |
( - 2 / 3 , - ^ / 3 ) , |
перегиба |
(-1,0). |
5.2.Наиболыпее и наименыпее значения функции
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти наибольшее и наименьшее значе ния функции f{x) на отрезке [а, 6].
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Наибольшее и наименьшее значения непрерыв-
5.2. Наибольшее и наименьшее значения функции |
125 |
ной функции /(ж) на данном отрезке [а, Ь] достигаются в критичес ких точках функции (точках, в которых f'{x) = О, ±оо или f'{x) не существует) или на концах отрезка [а, Ь].
1.Проверяем, что заданная функция на данном отрезке является непрерывной.
2.Ищем производную заданной функции.
3.Находим критические точки функции f{x) и выбираем из них
те, которые принадлежат данному отрезку [а, 6].
4. Вычисляем значения функции в критических точках внутри от резка и значения функции на концах отрезка. Сравнивая полученные значения, находим наибольшее М и наименьшее т значения функции на [а, 6].
ПРИМЕР. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
_ |
Юж + 10 |
^ ~ |
ж2 + 2а; -h 2 |
на отрезке [—1,2].
РЕШЕНИЕ.
1.Заданная функция является непрерывной на отрезке [—1,2], так как является отношением непрерывных функций со знаменателем, не равным нулю (ж^ -f 2ж + 2 > 0).
2.Вычисляем производную заданной функции:
|
у ' ^ - 1 0 , |
^ ' + ' ^ |
|
(a;2-f2x-f 2)2* |
|
3. |
Критическими точками заданной функции являются ж = О и |
|
X = —2. Данному отрезку [—1,2] принадлежит только точка х = 0. |
||
4. |
Вычисляем значение функции в точке х = О и значения функции |
|
на концах заданного отрезка. Имеем |
||
|
/(0) = 5, / ( - 1 ) |
= 0, /(2) = 3. |
Сравнивая эти значения, заключаем, что наименьшее значение функции m = О достигается в точке х = — 1, а наибольшее значе ние М = 5 — в точке X = 0.
Ответ. Функция принимает наименьшее значение m = О в точке ж = —1, а наибольшее значение М = 5 — в точке х = 0.
126 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Гл. 5. Графики функций |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Условия |
ЗАДАЧ. |
|
Найти наибольшее |
и наименьшее |
значения |
||||||||||||||||
функции |
у = f{x) |
на отрезке [а,Ь]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1. |
2/ = |
1 - |
^а;2 - |
2х, |
|
[0,2]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2. |
y = 2x-3\^, |
|
|
|
[-1,1]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3. |
у = х^{х-2)\ |
|
|
[0,2]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4. |
2/= |
(ж^ - |
9а;2)/4 + бх - 9, |
|
[0,4]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
5. |
2/ = 4x2/(3+ х2), |
[-1,1]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
6. |
у = 1+^х^ |
+ 2х, |
|
[-2,0]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
7. |
у = |
2x3 - |
За;2 - |
|
4, |
|
[0,2]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
8. |
2/ = 3^(а: - 3)2 - 2а; + 6, |
[2,4]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
9. |
у = |
^х2(а: - |
2)2, |
[0,2]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
10. у = |
2 - 12а;2 - |
8жЗ, |
[-2,0]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Ответы. |
1. m = у(0) = у(2) = 1, М = у(1) = 2. |
|
2. m = у(-1) |
= |
|||||||||||||||||
= |
- 5 , |
|
М = у(0) = 0. |
3. m |
= |
у(0) = |
у(2) = |
О, |
|
М |
= |
у(1) |
= |
1. |
||||||||
4. |
m |
= |
у(0) |
= |
- 9 , |
М |
= |
у(2) |
= |
- 4 . |
|
5. m |
= |
у(0) |
=: О, |
М |
= |
|||||
= 2/(-1) = |
2/(1) |
= |
1- |
|
|
6. m = |
у(-2) - |
у(1) = |
1, |
М - |
у(-1) |
= |
2. |
|||||||||
7. m =: у(1) =- - 5 , |
М |
= |
у(2) = |
0. |
8. m = |
у(3) = О, |
М |
= |
у(2) = |
5. |
||||||||||||
9. m |
- |
у(0) |
= |
у(2) = |
О, |
М = |
у(1) = |
1. |
Ю. m |
= у(-1) = - 2 , |
М= у(-2) = 18.
5.3.Исследование функции с помощью производных ВЫСП1ИХ порядков
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Исследовать функцию у — f{x) в окрестност.и точки х — а с помощью производных высших порядков.
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Пусть при некотором fc > 1
/'(а) = /"(а) = ... = f^'-'Ha) = О, f^'Ha) ф 0.
5.3. Исследование функции с помощью производных высших порядков 127
Тогда если к — четное число, то точка а является точкой экстремума, а именно точкой максимума, если f^^\a) < О, и точкой минимума, если /^^(а) > 0. Если же к — нечетное число, то точка а является точкой перегиба.
ПРИМЕР. Исследовать функцию
у= sin^(a: — 1) — ж^ 4- 2ж
в окрестности точки а = 1 с помощью производных высших порядков.
РЕШЕНИЕ.
1.Вычисляем производные заданной функции в точке а = 1:
у' |
= sin(2x - 2) - |
2д; -f 2, |
у'{1) |
= О, |
||
у" |
= |
2 cos(2x - 2) |
- 2, |
у"{1) |
= О, |
|
2/'" = |
- 4 s i n ( 2 x - 2 ) , |
У'"(1) = |
0, |
|||
у"" |
= -8cos(2a: - |
2), |
2/""(1) = |
- 8 < 0. |
2. Так как к = А — четное число и у""{1) < О, то точка а = 1 есть точка максимума функции у = sin^(a: — 1) — ж^ + 2х.
Ответ. Функциия у = sin^(a; — 1) — а:^ + 2ж имеет максимум в точке а = 1.
Условия ЗАДАЧ. Исследовать функцию у = f{x) в окрестности точки X = а с помощью производных высших порядков.
1. |
y = 2x'^-\-8x + Acos{x-\-2), |
а = |
-2. |
||
2. |
у = 41па; + 2ж2-8ж + 5, |
а = 1. |
|
||
3. |
?/= 2х - ж^+ со8^(ж - |
1), |
а = 1. |
|
|
4. |
у = 21п(х - 2) + ж^ - |
8х + 3, |
а = 3. |
||
5. |
2/=:x^ + 8ж + 8 - 2 e ^ + ^ |
а = - 3 . |
|
||
6. |
2/ = 2cos(a:-f 3) + ж2+ 6ж + 2, |
а |
= - 3 . |
||
7. |
2/ = х2 + 1-2х1п(ж + 1), |
а = 0. |
|
||
S. |
у = sin^ ж - ж^ -f 4, |
а = 0. |
|
|
128 |
|
Гл. 5. Графики функций |
|
|||
9. |
J/ = 2е^-2 - ж^ + 2а; -М, |
а = 2. |
|
|
||
10. у = 2е^ - sin ж - х^ - ж, |
а = 0. |
|
|
|||
Ответы. |
|
|
|
|
|
|
1. |
а = —2 — |
точка минимума. |
2. |
а = 1 — |
точка перегиба. |
|
3. а == 1 — |
точка минимума. |
4. |
а = 3 — |
точка перегиба. |
||
5. |
а = —3 — |
точка перегиба. |
6. а = —3 — точка максимума. |
|||
7. |
а = О — |
точка максимума. |
8. а = О — |
точка максимума. |
||
9. а = 2 — |
точка перегиба. |
|
10. а = О — |
точка перегиба. |
Г л а ва б
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
При изучении темы ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ вы на примерах познакомитесь с понятиями частных производных, полного дифференциала, градиента, производной по направлению и научитесь их вычислять. Вы также научитесь дифференцировать сложные функции нескольких переменных и функции, заданные не явно. Эти умения вы сможете применить для нахождения касатель ной плоскости и нормали к поверхности и точек экстремума функции двух переменных.
С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить част ные производные, решить системы уравнений (для нахождении ста ционарных точек), выполнить все численные расчеты и проверить правильность полученных вами результатов.
6.1. Частные производные
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти частные производные до второго порядка включит,елъно функции z = /(xi, Ж2,..., Жп).
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Чтобы найти частную производную функции z = / ( x i , . . . , Хп) по переменной Xk, фиксируем остальные переменные и дифференци руем / как функцию одной переменной Xk-
2. Частные производные высших порядков вычисляются анало гично последовательным дифференцированием, т.е.
5^/ |
|
9^/ |
|
|
дх1 дх\ |
\dxij ' |
dxidx2 |
dx2 |
\dxi |
д |
fdf\ |
|
д |
(af\ |
9X29X1 |
dxi \dx2J ' dxl ~ dx2 \dx2J |