Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика (Решебник)

240	Гл. 10. Ряды

5. Учитывал, что степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке [0,t], целиком принадлежащем интервалу сходи­ мости, и используя формулу (4), получаем

У2-=	yZu'^-'du^	^^—du = -\n{l-t),	\t\<l.	(5)
^^1 ^	Jo „^1	Уо 1 - ^

Заметим, что так как ряд (1) сходится в граничной точке t = —1, то его сумма непрерывна в этой точке (справа). Следовательно, фор­ мула (5) справедлива при всех t G [—1,1).

6. Заменяя t на sin ж, получаем при х ф -к12 + 27г/с

S{x)	= — In (1 — sin	х).
Ответ. S{x) = - l n ( l -	sinx), хф -KJI	+ 27гА;.

Условия ЗАДАЧ. Найти суммы функциональных рядов и указать области их сходимост^и к этим суммам.

6"х"

1.

п= 1

3.у^ (1 - 16а;4)"

п = 0

5.	^	2"
	^^{п	+ 1)х^--

°°on

7.У"^ п(п+1)х"'

п = 1 ^

'

- ^ (-1)"4"х2"

0

2п + 1 '

п = 1

°°	п+2
2 V	^

^п(гг4-1)*

п = 1 ^

^'

ооо п - 1

4.п=1УПХ"^ .

ООг)П„П+1

- (_1)п^2п+1

•	^	2п + 1	'
	п = 0
10^	J :	(-1)^-^Ж^^
^^'	^ ^	п(2п - 1)
	п = 1	^	^

Ответы.
1.	5= - 1п(1 - бж),	ж G [-1/6,1/6).
2.	S={x-x'^)ln{l-x)	+ x^, X G [ - 1 , 1 ] .

10.12. Вычисление суммы рлда почленным дифференцированием 241

4. 5 = - | l n ^ - ^ , а: G (-00,-3]и(3,+оо).

			3		X
5.	5	= - —		In	г—,	xG	(-с?о,-\/2)и(\/2,+оо).
			2		х^
6.	5	=	(1 -	2х) 1п(1 -		2х) + 2х,		ЖЕ [-1/2,1/2].
7.	'5 =		- ^ 1 ^ - у ^			+ | '	хе( - оо, - 3]и[3,4 - оо) .
8.	5=arctga:,				a:G[ - l,l] .
9 . 5 = ^ ^ - 1						. б [ - 1 А 1 / 2 ] .
10.		5 = 2a:arctga:-ln(H-a:2),						Ж Е [ - 1 , 1 ] .

10.12.Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти сумму функционального ряда вида

оо

n=fc

и указать област,ь сходимости ряда к эт.ой сумме.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенст­ вом

1/(^)1 < 1-

Если /(х) = ±1, ряд расходится (не выполнено необходимое условие сходимости). Следовательно, область сходимости определяется нера­ венствами — 1 < f{x) < 1.

242	Гл. 10. Ряды

2. Делаем в исходном ряде замену f{x) = t и записываем его в виде суммы двух рядов

^ п Г + Ь ^ Г .

п=к п=к

Следовательно, достаточно найти суммы рядов

оос»

п—к п=к

3. Известна формула для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

с о

,]^

n=fc

4. Кроме того, имеем очевидное равенство

сх)	оо	со ,
п=к	п=к	п~к

5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно дифференциро­ вать в любой точке интервала сходимости, и используя формулу (1), получаем

ОС rJ °^ г1 +к

^	dt^^	dt 1-t'	^ ' ^
n=k	n=k

6. Вычисляем производную и делаем замену t на f{x). Записываем ответ: сумму ряда и область его сходимости.

ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ ряд имеет вид

оо

J2{n' + bn + c)f{xr, п=к

ТО вычисляем сумму трех рядов, причем при вычислении суммы ряда

E"VW"

п—к

10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием 243

применяем теорему о почленном дифференцировании степенного ря­ да дважды.

ПРИМЕР. Найти сумму ряда

оо

ji -г u;u;In

n=0

иуказать область сходимости ряда к этой сумме.

РЕШЕНИЕ.

1. Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенст­ вом |ж^| < 1. Отсюда — 1 < ж < 1. В граничных точках х = ±1 ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости. Следовательно, ряд сходится в интервале ( — 1,1).

2. Делаем в исходном ряде замену х'^ = t и записываем его в виде суммы двух рядов

сю	оо
S{t) = б ^ г	+ ^ nt" = 6Si{t) + S2{t).
n=0	n=0
Следовательно, достаточно найти суммы рядов
оо	оо
n = 0	n = l

3. Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

	оо
	Е^' = г^'	w<i.	(2)
	п=0
Следовательно, Si{t) =	при всех t G (—1,1).
4. Кроме того, имеем очевидное равенство
оо	оо	оо	J

п=1

п=1

п=1

244	Гл. 10. Ряды

5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно дифференциро­ вать в любой точке интервала сходимости, и используя формулу (2), получаем

n=l

п~1

^

'

Таким образом.

S{t) = 63г{Ь) + S,{t) = Y ^ + ( Y ^ ^ W=W' * ^ ^"^' ^^'

Заменяя t на x'^ ^ получим

6 — 5ж^	ж е ( - 1 , 1 ) .
Ответ. 5 ( a : ) - — - - ^ ,

Условия ЗАДАЧ. Найти суммы функциональных рядов и указать области их сходимости к этим суммам.

	оо
1. ^ п а ; " + Ч		2.	^ п 2 " х " .
	п=1		п=1
	П = 1		П = 1
3.	ОО	4-	оо
	5Z("+i)^'"^'-		Е	3П-1
	п=0		п=1
5. ^viLli2^1.f2^.		6. ^ n ^ x - i .
	n=0		n = l
	00		00
	n=0		n = l
9.	^ n ( n + 2)x".	10.	^ n ( a : ^	+ l ) " - \

n = l

n = l

	10.13. Ряд Тейлора		245
Ответы.
х^	-е(-1Д)-	2х
1-5 = 7 г ^ ^		2-5 = 7rfi:;^>-e(-i,^)-
3-'5 = 7Т—3W'	^e(-i.i)-	_9_	хе(-з,з).
		4.5 = ^——^,
16		1 + ж

^•^ = Ц ^ ^ ' а:е(-1,1). 10.5 = ^ , xG(-^,o).

10.13. Р я д Тейлора

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Разложить функцию f{x) в ряд Тейлора по степеням х [XQ = 0).

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Преобразуем функцию f{x) к виду, допускающему использова­ ние табличных разложений е^, sina:, cos ж, (1 + ж)"^, 1п(1 + х).

2.Находим разложение функции в ряд Тейлора, используя таблич­ ные разложения, сложение (вычитание) рядов, умножение ряда на число.

3.Определяем область сходимости полученного ряда к функ­ ции /(ж).

ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ необходимо разложить функцию в ряд Тейлора по степеням ж — жо, сначала делаем замену переменной t = ж — жо, находим разложение по степеням t и возвращаемся к переменной ж.

ПРИМЕР. Разложить функцию

2 - ж - ж2

в ряд Тейлора по степеням ж (жо = 0).

246	Гл. 10. Ряды

РЕШЕНИЕ.

1.Чтобы использовать табличные разложения, разложим данную функцию на элементарные дроби:

1

1

2-х~х'^

1-

X

' х-\-2'

2.

Используя табличное разложение

1

°°

te

_

_

=

1 + 1 +1^ + ... + Г + ... -

^

Г ,

(-1,1),

п=0

получим

1

°^

x G ( - i , i ) ,

- — = $ ] x ^

1

—- . тX

~

^—'

п== 0

^

^

1

1

_

1 ^

( - i r x -

^

-

{-1Гх-

а:е(~22)

.

^

9. -4-^/9

9 Z ^

9.П

Z ^

^

9.П+1

'

- ^ ^ l ^ ' ^ ^

2 + ж

2

1 + ж/2

2 ^

2"

2

'

п=0

п=0

Таким образом,

_ ^ _ ^2 ~

2-^ 1 ^ "^

9пН ^ • ^

3.

Областью сходимости полученного ряда является пересечение

вышеуказанных областей сходимости, т.е. (—1,1) П (—2,2) = (—1,1).

			n=0	^	^
	Условия		ЗАДАЧ. Разложить		функции в ряды Тейлора [XQ = 0).
	± .	^		2.	1п(1-2:-20х2).
		6 — ж — ж-^
	3.	/	'^\	4.
		sin(x + - ) .
		X	0
	5.			6.	^16 4-х.
		3 + 2ж'
	7.	же2^^+1.			^ 2 7 - X *
	9.	In(12x2-h7x + l).		10.	соз^Зх.

10.14. Приблиоюепные вычисления с помощью рядов

247

Ответы.

1- Е			( ^ + У ? ) - " .			хе(-2,2).
	п=0		Зп+1 2^"^-'-
2-	оо		(_1)п-14п_5п ^				1 1
	Е				ж'%	X е	" 5 ' 5
	п=1
3- f Е 7 ^ ^ - - + ^ Е ^ ^ - >								. е ( - . , . . ) .
4.						п=0 '' '
	^ ,g>(-l)"(2n-l)!!.,,„^,						ж € ( - 3 , 3 ) .
	3	' ^-^		п!2"32"+1		а;'"+\
			п=1
5	V		( - !	&	_ 1	3	3
			^"-^^	^	ж G	" 2 ' 2
	п =0
	Z-^ Чп+1
• ^ ^ | ^ В - ' г - ' ^ ' " • : • ! ; " " ' ' - ' •								-<^|-'».1Ч.
				п = 2
7.			2П
	е ^ — х 2 ^ + \ ж€(-оо,+оо).
	п=0
'• ^E'"! .. i!r - V							.е(-2Г,.П.
	3	' ^			п!34^+1
			п=1		4» + 3" „	/	1 1
9-	Е(-1)
					п	\	4 4

( —1)"6\П(У2П

10.14.Приближенные вычисления с помощью степенных рядов

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить интеграл

о6

f{x) dx

/о•

с т,очност,ъю а, г(9е f{x) разлоэюима в степенной ряд, имеющий ра­ диус сходимост,и R > Ь.

248	Гл. 10. Ряды

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Практические вычисления обычно сводятся к суммированию того или иного числового ряда. В данном случае та­ кой ряд получается, если разложить подынтегральное выражение в степенной ряд и проинтегрировать его почленно.

1. Разлагаем подынтегральную функцию в степенной ряд по сте­ пеням X

/W = X^Cnx"",

n=0

иопределяем его область сходимости.

2.Степенной ряд можно интегрировать почленно по любому от­ резку, принадлежащему интервалу сходимости. Поэтому, интегри­ руя почленно полученный ряд и используя формулу Ньютона-Лейб- ница, получаем

f{x) dx= Y^^"^" dx = Y^Cn -—т.

3. Вычисляем сумму числового ряда с заданной точностью (оце­ нивал остаток ряда).

ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ разложить подынтегральную функцию в ряд

не по степеням ж, а по степеням ее — 6/2, то ряд будет сходится быст­ рее, т.е. для обеспечения заданной точности может потребоваться меньше слагаемых, однако в итоге вычисления оказываются более сложными.

ПРИМЕР . ВЫЧИСЛИТЬ интеграл

0,1

cos(lOOx^) dx

/ •

о

с точностью а = о, 001.

РЕШЕНИЕ.

1. Разлагаем подынтегральную функцию в ряд Тейлора по степе-

10.14. Приближенные вычисления с помощью рядов

249

ням х:

/1ПП 2х , (102^2)2 (102а:2)4 (lO^rr^)^

		^ /	^	(2п)!	^ ^	^	(2п)!	•
		п=0		^ ^	п=0		^ ^
Разложение справедливо при всех х.
2. Интегрируем почленно полученный ряд:
0,1	0,1					0,1
о	о '^~^			^~^		о
	п =0	^	^	"J	п=0	^	/ V	/
3. Оценим остаток ряда. Так как ряд знакочередующийся,
dn = 77771 ,11\/г>		м > ^п+1 =			1
"	10(4n + l)(2n)!		"^'	10(4п + 5)(2п + 2)!

и limn->oo ttn = О, то справедливо неравенство

1

\Rn\ < dn+l = 10(4n + 5)(2n + 2)!

Для вычисления интеграла с заданной точностью достаточно взять два члена ряда, так как

4. Производя вычисления, получаем

0,1

I cos(100x2) d x ^ ^ - Y ^ T ^ = 0,090.

о

0,1

Ответ. 1 со8(100ж2) dx ^ 0,090 ± 0,001.