Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика (Решебник)

170	Гл. 7. Неопределенный интеграл

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1.Чтобы избавиться от радикала, используем тригонометричес­ кие или гиперболические подстановки:

а)	X = asint	или	х =	aiht]
б)	X == atgt	или	X =	asht]
в)	х =	или	X =	acht.

cost

2. Применив формулу замены переменной в неопределенном ин­ теграле, получим интегралы вида

/ Ri {sin t, cos t)dt.

3.Вычисляем последний интеграл с помощью известных подста­ новок или методом понижения степени.

4.Возвращаемся к переменной х и записываем ответ.

ПРИМЕР. Найти неопределенный интеграл

^2

: dx.

/

РЕШЕНИЕ.

1. Чтобы избавиться от радикала, воспользуемся подстановкой ж = 3 sin t. Тогда dx = 3 cos t и \/9 — x^ = 3 cos t.

2. Сделаем замену переменной в неопределенном интеграле:

Г	х'^ ^	rdsiii^tScost		^^ л /*	. 2	. ^ .
/ .	dx=	—====		dt = 9	sm"^ t dt.
У V9-a;2		J V 9 - 9 s i n 2 ^		j
3. Применяя формулы понижения степени, получим
9	/*	9	9 / *		9	9
/ sin^ tdt=--	/ {l-cos2t)dt	= - t - -	/	cos2t dt=		-t--sm2t-i-C.

4. Возвращаемся к переменной x, подставляя t = arcsin(x/3):

..2

/ V9 r.2: dx = - arcsm - - - sm I 2 arcsm •5-) + С

7.9. Интегрирование иррациональных выражений

171

ЗАМЕЧАНИЕ. Ответ можно упростить, если воспользоваться тем, что sm2t = 2sintv 1 - sin^ t и sint = x/3:

Ответ

• /

		. ^'		9
/			_: dx = - axcsin -			- — v 9 — x'^ + C.
	Vg^T^			2	3	2 "^
	J	^	^	^	. X X	/ - — -
			ax =	- arcsm — -		-r v 9 - x^ + G.
	v / 9 ^ : ^			2	3	2 "^

Условия ЗАДАЧ. Найти неопределенные интегралы.

1.

/* \/4 - х2 dx.

2.

/

\/2 + х2 dx.

/

V х^ — 4 dx.

4.

/

'^^ .

У х\/х2 — 1

6.

/"

/ ^

J

XV 4 -f х^

8.

/

,

dx.

dx

f ^^

/

х/(2 +

х2)3

J W P ^ '

Ответы.

1.

2arcsin -

-f - \ / 4

-

x2 +

a

2^

^

2.

ln(x + V2 + x2) + - \ / 2 + x2 + C.

3.

2 ^

x 2 - 4 - 2 1 n | X -f \/x2 -

41 + с

4. arccos —h

С

3 - \/9 - x2

X

2

-

1

\/4 + x2 -

+ a

5.

31n

X

+ \ / 9 - x 2

+ a

6.

^in

X

7

2 In

x 4- л/х2 — 4 +

± , / ^ 2 _ 4

+ Г7.

8

i

2 ^

^

L — + Г7.

V l - x 2

0

^

, r

10. -

arccos -

+

X—

+

C.

2\/2 + X2

2 1

X

x2

/

целое число; в этом случае подстановка а + Ьх"^ = z^,

172 Гл. 7. Неопределенный интеграл

7.10. Интегрирование дифференциального бинома

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти неопределенный	интеграл
I x'^{a + bx'')Pdx,	(1)
где т, п и р — рациональные числа.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Выражение х^{а + Ъх'^У dx называется диффе­ ренциальным биномом. Условия его интегрируемости в элементар­ ных функциях получены П. Л. Чебышевым.

Условил Чебышева. Интеграл (1) выражается через конечную комбинацию элементарных функций в следующих трех случаях:

1) р — целое число; в этом случае подстановка ж = z^, где s — общий знаменатель дробей т и п , приводит к интегралу от рацио­ нальной функции.

2)

п

где S — знаменатель дроби р, приводит к интегралу от рациональной функции.

. т-\-1	-г, 1
3)	h р — целое число; в этом случае подстановка ах " + 6 =

п

= 2^, где S — знаменатель дроби р, приводит к интегралу от рацио­ нальной функции.

ПРИМЕР. Найти неопределенный интеграл

/X Vx^ • dx.

РЕШЕНИЕ. Перепишем интеграл в виде

J X V Ж^ J

Подынтегральное выражение имеет вид х'^{1 -h x^Y при

7	1	1	m + 1
m = - - ,	n = ~ ,	P = ~ ,	+ p = - l .
5	3	5	n

Следовательно, имеет место третий случай интегрируемости.

7.10. Интегрирование дифференциального бинома

173

Применяя подстановку

х-^1^ + 1 = z^

иучитывал, что

x= {z^ ~ l ) - ^ dx = -3(г^ - 1)-'* bz^dz,

получаем

= / ( / - 1)""(1 + (.» - !)-')•"> i ^ <i. =

Условия ЗАДАЧ. Найти неопределенные интегралы.

3. /	_ _ ^ _	dx,.	4.	// •	.'^ dx.
	X \/1 + а;3	•	'	J

^-	J	xWl	+ x^'^''-	^-	/ Т ^V5+l)io'^'''
9.	/	^ —	= dx.	10. /	д,	dx.

Ответы.

1Н- V х-^ \	^	^	2 / 1 + ж ^ '	4-а
1. - Г иАГ I	+а	2.	- г ( ^ ^ )

174 Гл. 7. Неопределенный интеграл

3. - l n ( v T + ^ - l ) - l n | a ; | + a

	О
^	1 , 1	+ Vr^^		1 VT^^		, ^
5.	4 \	X	\	+С.	6.	^ ( 4 ч / г + - ^ - 3 ) ^ 1 + - ^ + а
	(2х^-1)7ГГ^					1 ,	4
		3x3		+^--	»•	2 ( ^ + 1)8 ^ 9 ( ^	+ 1)9 ^^'•
	3		|ж|
	VaJ + l		( ^ + 1 ) 3
	1	^/TTF+x		1		^/TTF , ^
10.	- m	.,			arctg	h С.
	4	^/ГТ^-а;		2	^	a;

Г л а ва 8 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

При изучении темы ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ вы познако­ митесь с формулой Ньютона-Лейбница и научитесь применять ее для вычисления определенных интегралов, используя технику нахождения первообразных. Вы научитесь применять определенные интегралы для решения геометрических задач (вычисление площадей плоских фигур, длин дуг кривых и объемов тел).

С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете найти новые пре­ делы интегрирования (при использовании различных подстановок), вычислить первообразные и применить формулу Ньютона-Лейбница, выполнить все численные расчеты и проверить правильность полу­ ченных вами результатов.

8.1.Интегрирование подведением под знак дифференциала

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить определенный интеграл

b

/ F{x)g{x) dx.

а

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Пусть д{х) имеет очевидную первообразную G(x), а F{x) есть функция этой первообразной, т.е. F{x) = u{G{x)). Тогда

6

6

(3

I F[x)g{x) dx= f u{G{x))G\x) dx = f u{G) dG,

a

a

a

где a = G(a), p = G{b).

Такого рода преобразование называется подведением под знак дифференциала.

176	Гл. 8. Определенный интеграл

Если метод избран удачно, то последний интеграл оказывается табличным или известным образом сводится к табличному, после чего применяем формулу Ньютона-Лейбница.

ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ определенный интеграл

1

xdx

/о

РЕШЕНИЕ.

1. Представим подынтегральное выражение в виде произведения двух функций F{x)g{x), где д{х) имеет очевидную первообразную G(x), а F{x) есть функция этой первообразной, т.е. F{x) = u{G{x)).

В данном случае

П ^ ) - ^ ^ ^ [ ^ 2 ) 2 ^	^ Н	= 2х,		G{x) = x\	F{x) =		l^-^^u{G).
2. Тогда
1	1	f			1
Г xdx	_1		1	2 _ 1 А		1
J ^^й^^2		J	1 + (а:2)2 "^"^		^2	J	TTG^"^^'
0		0			о

где G = ^2 и G(0) = О, G(l) = 1.

3. Последний интеграл является табличным. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

			о
^	1	xdx		7Г
	г		=
Ответ.	/	—т 7		--.
	J	х^ + 1		8

о

Условия ЗАДАЧ. Вычислить определенные интегралы.

1		^	7г/4
ж	,		f	sin а: — cos а:
О			о	sm X — cos а:
				(cos ж -Ь sinx)^
/

8.2. Интегрирование по частям

177

1

У	(а;4 + 4ж 4-2)2
о	•	'
5. /		ах.
J		X

1

7Г/2

/"ж COS X + sin Ж ,

7./ —7—: гз—ах.

7г/4

4

,fp^tLd3\/хН-1.. ,

У2xv/i + x

1

7г/4

J

Ь

	\/2/2
6.	/	,	ах.

J v T ^ T ^

о

1

^/'2 arctg а: + ж ,

8. / ——^ «^•

о

1/2

^^10. /г* 92яггстпarcsin^ тX -НI - -Xт

У х / Г Г ^

• dx.

о

Ответы. 1.1/4. 2 . - 1 / 4 . 3.5/56. 4.1. 5.5/4. 6.7г/12. 7.14/7г2.

8.7г2/16 + In \/2. 9. 1п(20/3). 10. (тг^ - 18\/3 + 36)/36.

8.2.Интегрирование по частям

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить определенный интеграл

ъ

/ F{x)g{x) dx.

а

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Пусть на отрезке [а, Ь] функция ^(х) имеет оче­ видную первообразную G(x), а F{x) — дифференцируемая функция, причем ее производная /(х) == F'{x) является более простой функ­ цией, чем F[x). Тогда применяем формулу интегрирования по час­ тям

ъ

ь

I F{x)g{x) dx = F{x)G{x) \\- j f{x)G{x) dx.

a

a

Если метод избран удачно, то интеграл в правой части этого ра­ венства оказывается табличным или известным образом сводится к табличному, например повторным интегрированием по частям.

178	Гл. 8. Определенный интеграл

ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ определенный интеграл

2

/ ^х1п^ xdx.

1

РЕШЕНИЕ.

1. Представим подынтегральное выражение в виде произведения двух функций F{x)g{x)^ где д{х) имеет очевидную первообразную G(a:), а F{x) — дифференцируемая функция, причем ее производная f{x) = F'{x) является более простой функцией, чем F{x).

В данном случае

F{x)=ln'^x,	д{х)=х,		С(ж) = —,		/(х) = F'(x) = 21пх • - .
2. Применяем формулу интегрирования по частям
2		о	2			2
х1п^ xdx	= — In^ Ж	— /		— • 2 In X • — б?ж = 2 In^ 2 — / ж In ж dx.
	2	1	У	2	X	J
1			1			1

3. Последний интеграл не является табличным, но к нему можно повторно применить формулу интегрирования по частям:

2	.	.о	2	. 2	,	^
/•	х^	2						3
		Г	Гх^		1
J	2	\^	J 2		X	4	= 21п2--7.
							1	4

2

Ответ. I/ -xln^xcia:^ 21n^2 - 21n2 - f - .

Условия ЗАДАЧ. Вычислить определенные интегралы.

	1		1
1.	fxe-''dx.	2.	[ xdiTctgxdx.
	о		о

	8.3. Интегрирование тригонометрических выраоюений						179
	2			27Г
3.	/	Inxdx.	4.	/	x^cosxdx.
. / . . . .			.,/„....
1				о
	е			7г/3
		1п^жс/ж.	8.	/	:r-dx.
				J	cos^ X
1				о
	7г			е	'
9.		e^cos^xdx.	10.	/	cos In ж do:,
о				1
Ответы. 1. ( е - 2 ) / е .			2. (тг -	2)/4.		3. 21п2-1. 4. 47г. 5.7г/6-\/3+1.
6. 7г2/4	-	2. 7. е - 2.	8.	27г/3 -		In tg(57r/12). 9. 3(е^ -	1)/5.

10.(е^/2 - 1)/2.

8.3.Интегрирование выражений J?(sinx,cosx)

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить	определенный интеграл
b
/ i?(sina:,cosx) dx,
где R — рациональная функция двух	переменных.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Если а и b таковы, что функция tg {х/2) определена на [а, 6], то с помощью подстановки

X

интегралы от функций Я (sin ж, cos ж) приводятся к интегралам от ра­ циональных функций новой переменной t. Действительно, подставляя в подынтегральное выражение