Некоторые свойства

Из аксиом видно, что наименьшим элементом является 0, наибольшим является 1, а дополнение ¬a любого элемента a однозначно определено. Для всех a и b из A верны также следующие равенства:

;	;
;	;
;	;
;	;	дополнение 0 есть 1 и наоборот
;	;	законы де Моргана
.		инволютивность отрицания

[Править] Основные тождества

В данном разделе повторяются свойства и аксиомы, описанные выше с добавлением ещё нескольких.

Сводная таблица свойств и аксиом, описанных выше:

;	.	1 коммутативность переместительность
;	.	2 ассоциативность сочетательность
3.1 конъюнкция относительно дизъюнкции	3.2 дизъюнкция относительно конъюнкции	3 дистрибутивность распределительность
;	.	4 комплементность дополнительность (свойства отрицаний)
;	.	5 законы де Моргана
;	.	6 законы поглощения
;	.	7 Блейка-Порецкого
;	.	8 Идемпотентность
.		9 инволютивность отрицания
;	.	10 свойства констант
;	.
дополнение 0 есть 1 ;	дополнение 1 есть 0 .
;	.	11 Склеивание

См. также Алгебра логики

[Править] Примеры

• Самая простая нетривиальная булева алгебра содержит всего два элемента, 0 и 1, а действия в ней определяются следующей таблицей:

∧	0	1
0	0	0
1	0	1

∨	0	1
0	0	1
1	1	1

a	0	1
¬a	1	0

• Эта булева алгебра наиболее часто используется в логике, так как является точной моделью классического исчисления высказываний. В этом случае 0 называют ложью, 1 — истиной. Выражения, содержащие булевы операции и переменные, представляют собой высказывательные формы.

• Алгебра Линденбаума — Тарского (фактормножество всех утверждений по отношению равносильности в данном исчислении с соответствующими операциями) какого-либо исчисления высказываний является булевой алгеброй. В этом случае истинностная оценка формул исчисления является гомоморфизмом алгебры Линденбаума — Тарского в двухэлементную булеву алгебру.

• Множество всех подмножеств данного множества S образует булеву алгебру относительно операций ∨ := ∪ (объединение), ∧ := ∩ (пересечение) и унарной операции дополнения. Наименьший элемент здесь — пустое множество, а наибольший — всё S.

• Если R — произвольное кольцо, то на нём можно определить множество центральных идемпотентов так: A = { e ∈ R : e² = e, ex = xe, ∀x ∈ R }, тогда множество A будет булевой алгеброй с операциями e ∨ f := e + f − ef и e ∧ f := ef.