6. Теорема аннулирования.

Теорема:Сумма произведений элементов фиксированной строки(столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов параллельной строки(столбца) равна нулю.

Док-во:

А= а₁₁ а_{12 …} а_n |B|= а₁₁ а_{12 …} а_n

a₂₁ а_{22 ….} a_n a₂₁ а_{22 ….} a_n = 0

а_n1 а_{n2 ….} a_n а_n1 а_{n2 ….} a_n

n

d efA=∑ a_ij A_kj

j=1 n defA;m=k

n =∑ a_ij A_k=

d efB=∑ a_ij A_kj j=1 0, m=k

j=1

7. Действия над матрицами (сложение, умножение на число, умножение матрицы на матрицу, транспонирование, обращение) и их свойства.

Сложение: Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых

размеров.

Суммой двух матриц Атхп = (aij) и ВтХп = (bij) называется

матрица Стхп = (cij) такая, что с^ = ац + Ьу (г = l,m, j = Tji).

Умножение на число :

Произведением матрицы Атхп = (а^) на число к называется матрица

ВтХп = (bij) такая, что Ь^ = к • а^ (г = l,m, j = Т7п).

Матрица —А = (—1) • А называется противоположной матрице А.

Разность матриц А — В можно определить так: А — В = А + (—В).

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают

следующими свойствами:

1. А + В = В + А

2. А + (В + С) = (А + В) + С;

3. А + О = А;

4. А - А = О;

5. 1*А = А;

6. афльфа • (А + В) = альфаА + альфаБ;

7. (альфа+бета) • А = альфаА + бетаА;

8. альфа • (бетаА) - (альфабета) • А,

Произведение матриц

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда

число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы Аmхx = (а_ij) на матрицу Вmxn= (bjk)

называется матрица Сmхn = (с_ik) такая, что

Сjk = а_1k – b_1k + a_i2 • b_2k +….+a_inb_nk где г = 1, m, k = 1,р,

т. е. элемент i-й строки и k-ro столбца матрицы произведения С равен

сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие

элементы к-ro столбца матрицы В.

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ

и В А всегда существуют. Легко показать, что А- Е — Е • А = A, где А —

квадратная матрица, Е — единичная матрица того же размера.

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1. А- {В- С) = (А- В) С;

2. А • (В + С) = АВ + АС;

3. (А + Б) • С = АС + ВС;

4. альфа(АВ)=(альфаА)В

Транспонированной матрицей называется матрица с верхним индексом A^т nm, полученная из исходной матрицы Anm путём замены столбцов строками

Для операции транспонирования верны свойства:

1.(А+В)^Т=А^Т+В^Т

2. (АВ)^Т = В^т • А^т.

8. Элементарные преобразования матриц.

1.Элементарные преобразования м-цы к ним относится перестоновка местами двух строк(столбцов)

2.Умножение сроки(столбца) на произвольное число не равное 0.

3.Сложение 3-ей строки(столбца) на произвольное число с J-ой строкой(столбцом) при i не равным j.

4.Транспонирование м-цы.

Элементарными называются м-цы полученные одна из другой при помощи конечного числа элементарных преобразований.