37. Предел числовой функции. Односторонние пределы.

Число а наз приделом функции y=f(x) при x стремящимся х0 если для любого ε> 0 существует δ> 0 : для любого х принадлеж. Окрестности Uδ(x0)= (x0-δ; х0) V (x0, x0+δ) следовательно If(x)-aI<ε

Замечание: функция f(x) определена в окрестности точки х0, а в самой точке может быть неопределенна.

Число а наз предел справа(слева)функции f(x) при х стемящ. Х0 справа(слева), если для любого ε >0: для любого х принад. (х0,х0+δ)

38. Бесконечно-малые и бесконечно-большие функции.

Функция α(х) определена в некоторой окрестности точки х0 наз бесконечно малой при х стемящ. Х0 если предел α(х)=0

Функция А(х) определена в некоторой окресности точки х0 наз б/б при х стемящ. Х0 если предел а(х)=+-бесконечности

39. Теоремы о бесконечно-малых.

Теорема: пусть α(х), β(х) – б/м при х стемящ. х 0, тогда

• Α(х)+β(х)- б/м

• Α(х)*β(х)- б/м при х стемящ. х0

Теорема: произведение огранич. Функции на б/м есть б/м функция.

Теорема: Пусть функция F(x) определена в некоторой окресности точки xo U(x0). Для того чтобы limf(x) при х стемящ. х0 = а, необходимо и достаточно f(x) – б/м при х стемящ.х0

Теоема: пусть α(х) – б/м при х стем. Х0, а А(х) – б/б, тогда функция - б/б, а 1/А(х) – б/м

40. Теоремы о пределах.

Теорема: если у функции сущ. Lim, то он единственный

Теорема: lim алгебраической суммы конечного числа функции = алгебраической сумме их lim при условии, что последнее существует и конечно

Теорема: предел произведение конечного числа функции= произвед. Lim сомножителей если эти пределы существую и конечны.

Следствие: при нахождении шь произведения постоянный множитель можно выносить за знак lim.

Теорема: lim частного двух функций имеющ. Конечные Lim = частичному при условии, что lim знаменателя отличен от 0.

Теорема: Пусть , , Тогда

41. Неопределенные выражения

Вид ф-ции	a	b	Результат
	0	0	[0/0]
	∞	∞	[∞/∞]
	0	∞	[0,∞]
	∞	∞	[∞-∞]
	1	∞	[1^∞]
	0	0	[0^0]
	∞	0	[∞^0]

Пример:

; ;

;

42. Замечательные пределы

Первый замеч предел След-я: 1. 2. 3. 4.

Второй замеч предел След-я: 1. 2 3. 4. 5.

43.Сравнение б/м:

в основу сравнения кладётся lim их отношений

если (1)=const≠0,то α(x),β(x)-б/м одного порядка малости если (1)=0,то α(x)-б/м более высокого порядка малости

если (1)=∞,то α(x)-б/м более низкого порядка малости

если (1)=1,то α(x),β(x)-эквивалентные б/м