18. Размерность и базис пространства

Опр.Размерностью линейного пространства называется число n линейно независемых векторов этого пространства если n+1 линейнозависем.

Обозначение:

|R¹-прямая

|R²-плоскость

|R³-пространство

Опр.Базисом линейного пространства называется любая система n линейно независимых векторов этого пространства.

Теорема. Любой вектор хєZn можно представить как линейную комбинацию векторов базиса и при этом единственным образом. n

X=альфа1е1+альфаnеn+…+альфа1е1=∑альфа1е1 e=1

Опр.коэфиценты размножения по базису называется координатом вектора в данном базисе.

Опр.Если три вектора лежат в одной плоскости они называются комплонарными.

Теорема. Если в линейном пространстве зафиксирован базис то при сложении векторов этого пространства складываются координаты , а при умножении на число его координаты. В любом n мерном пространстве с ориентированным пространством сложение векторов и умножение на число происходит так же как в ариф. Пространстве.

19. Условие коллинеарности двух векторов.

Пусть х,у, є Z зафиксируем базис в пространстве Z тогда каждому вектору того пространства ставится в соответствии единственный набор чисел являющейся координатами этого вектора в базисе. При условии линейной зависимости альфа1х1+альфа2у2 должно (альфа1,альфа2) не равно (0,0)

20. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Опр.скалярным произведением х,уєZ назыв. Отображение двух векторов на число удовлетворяющая двум аксиомам.

1)xy=yx

2)(альфа-х)у=альфа(х-у)

3)(ху+альфа)=(ху)+(хальфа)

4)(х1х2)>=0

(х1х2)=0<=> x=0

Опр.Ефклидовым пространством Еn назыв линейное пространство в котором определено скалярное произведение.

Опр.нормой вектора def Называется число удовлетворяющее 3-м аксиомам.

1)|х1|>=0 такая что хєЕn если х=0=>||x||=0

2)||альфах||=|альфа|*||х||

3)|x+y||=|x||+|y|

Опр. Растояние между двумя векторами евклидового пространства назыв. Отображение этих векторов удовлетворяющим следующие аксиомам.

1)ро(ху)=ро(ух)

2)ро(ху)>=0

3)Ро(х+у+z)<=ро(ху)+ро(уz)

В линейном пармированном пространстве есть в пространстве с веденной нормой в расстоянии между асимптотами ро(ху)=||x-y||

21. Векторное произведение. Аксиоматическое определение и свойства.

Векторным произведением 2х векторов (х1,х2) из пространства IR^3 взятых в данной последовательности, называется х3 принадлеж. IR^3 , х3 [х1,х2]=х1*х2 и удовлетворяют след. Аксиомам:

[x1; x2]= [x2; x1] ассоциативность

[x1 λ x2]= λ [x1; x2] умножение на число

[x1+x2, x3]= [x1,x3]+[x2, x3] дистрибутивность

[l1, l2]=l3 ортонормированность относит. Векторов сомножителей, образующих онб.

Свойства:

Векторное произведение 2х векторов=0: [x1 *x1]=0

Векторное произведение 2х линейно – зависимых векторо = нулевому вектору.