22. Векторное произведение. Вычисление в декартовых координатах.

Векторным произведением 2х векторов, заданных своими координатами в о. н. б. = вектору – определителю у которого в верхней строке записаны орты базиса, а 2ая и 3я строки составлены из координат соотв. 1ого и 2ого множителя.

Теорема 2: векторное произведение ортогонально каждому из своих сомножителей.

23.. Векторное произведение Геометрический смысл.

Теорема: норма векторного произведения 2х геометрических векторов (а,б) = S пар-ма, построенного на этих векторах: S пар-ма= II[a,b]II

Векторным произведением AxB – вектор с, удовлетворяющий след. Условиям:

IcI=IaI*IbI * sin φ , 0 П

С перпендик. А, с перпендик. Б

А, б,с, взятые в данной последовательности образуют правую тройку.

24. Смешанное произведение. Аксиоматическое определение и свойства.

Смешанным произведением 3х векторов (х1,х2,х3) из IR^3 , взятых в данной последовательности, называется число, обозначаемое (х1,х2,х3) = )х1,х2,х3( по определению (х1,х2,х3)=([x1; x2] x3) результату векторного произведения и удовлетворяют след. Требованиям:

(х1,х2,х3)= -(х1,х2,х3) антикоммуникативность

(х1,х2,х3)=α* (х1,х2,х3)

(х1,х2,х3,х4)= (х1,х2,х4)+(х1,х3,х4)

(l1,l2,l3)*1- единичность относит. Векторов – сомножителей, сост. О.Н.Б.

Следствие:

векторы х1,х2,х3 – комплонарны, тогда и только тогда, когда их смешанное произведение = 0.

Смешанное произведение = 0, если среди векторов – сомножителей есть зотя бы одна пара комплонарных векторов.

Смешанное произведение=0, если среди векторов – сомножителей есть хотя бы один нулевой вектор.

Теорема: смешанное произведение 3х векторов, заданных координатами в О.Н.Б, равно определителю, строки которого составлены из координат соотв. Координатам сомножителей.

25. Смешанное произведение. Вычисление. Геометрический смысл.

Теорема: абсолютная величина смешанного произведения (a,b,c)это векторы, численно равна корню паралелепипида, построенного на этих векторах. корень паралелепипида= модулю а,б,с векторов

следствие: для любых а,б,с справедливо равенство ([а,б],с)=(а,[б,с])

26. Понятие о точечно-векторном пространстве.

27. Прямая в .

Прямой на плоскости – геометрическое место точек M(x,y) придлеж. IR^2 и удовлетворяющие уравнению Ax+By+C=0 (общее уравнение)

A(x-xo)+B(y-y0)=0 уравнение прямой проход. Через заданную точку в заданном направлении.

Замечание: для того, чтобы задать прямую на плоскости нужно:

Точку и вектор нормали

Точку и направляющий вектор ( = )каноническое

2 точки( = ) уравнение прямой

28. Плоскость в .

Плоскостью – геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению Ax+By+Cz+D=0

29. Прямая в .

30. Взаимное расположение прямой и плоскости.

2 прямые

L1 II l2 следовательно S1 II s2 следовательно =

L1 перпендикулярно l2 следовательно s1 перпен.s2 следовательно ( S1 ; S2 )= m1 *m2+ n1*n2 + (P1* p2)= 0

L1 Ωl2 φ= ( l1 , l2 и угол между ними) следовательно φ= arcos

2 плоскости

Α1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0

Α2: A2x + B2y + C2z+ d2=0

Прямая и плоскость

L: α: Ax + By+ Cz+ D=0