9. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований.

Опр1.Минором катого порядка м-цы А называется определитель составленный из элементов данной м-цы находящейся на пересечении строк i1,i2…ik и с номерами j1,j2…jk.

Опр2.Рангом не нулевой м-цы А называется число r(A), если м-цы А существует не нулевой минор порядка r(A).Всякий минор м-цы А и имеющей порядка r(A)+1 равен 0.

Опр3.Базисными минором м-цы А называется любой неравный нулю минор порядка r(A).

Теорема:Вычисление ранга м-цы методом элементарного преобразований.

Можно показать , что любую м-цу с помощью конечного числа элементарных преобразований можно привести к трапецевидной м-це, ранг которой равен числу не нулевых строк.

10. Системы линейных уравнений. Основные определения.

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей га

уравнений и п неизвестных, называется система вида:

а ₁₁х₁+а₁₂х₂+…..+а_1nx_n = b₁

а₂₁х₁+а₂₂х₂+…..+а_2nx_n = b₂

_{…………………………………………}

a_m1х₁+а_m2х₂+…..+а_mnx_n = b_m

где числа аij, i = l,m, j = 1,n называются коэффициентами системы,

числа bi — свободными Членами. Подлежат нахождению числа х_n.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы

одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет

единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

В последнем случае каждое ее решение называется частным решением

системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему — это значит выяснить, совместна она или

несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они

имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы

эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и

наоборот.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных

преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются

лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если все

свободные члены равны нулю.

Однородная система всегда совместна, так как х1=х2 = • • • = х_n = 0

является решением системы. Это решение называется нулевым или

тривиальным.

11. Исследование слу. Теоремы Кронекера-Капелли

Опр1.Решением системы называется любая совокупность чисел альфа₁,альфа₂...альфа_n которая будучи поставлена в управление системы обращает в тождества.

Опр2.СЛУ называется совместной если она имеет хотя бы одно решение и несовместной если решения нет.

Опр3.СЛУ называется определенной если она имеет совместное решение и неопределенной если она имеет более одного решения.

Теорема Кронекера-Капелли (1)

Для того, что бы СЛУ была совместной необходимо и достаточно что бы ранг основной м-цы совпал с рангом расширенной матрицы.

Замечание:Если ранг м-цы меньше числа уровнений то при r(A)=r(A^p)=r система содержит m невисемых уравнений ,а все остальные уравнения являются линейной комбинацией этх m уровнений.

Теорема Кронекера-капелли (2)

Совместно СЛУ является определенной если ранг основной матрицы равен числу неизвестно. r(A)=r=n. Если жe r не равен n, то число решений равно бесконечности, то есть система является неопределенной. При m=n то есть м-цы является квадратной ,условием является условие не вырожденности. При m>n система не может быть определенной.