25. Теория вычислительных погрешностей

Источники возникновения погрешностей. Классификация погрешностей. Запись приближенных десятичных чисел. Погрешность вычисления функции. Погрешности реальных вычислений. Распространение ошибок.

По объективным причинам обрабатываемые числовые данные в ЭВМ представляются с некоторой погрешностью. Во внимание принимают погрешности: 1) счёта. Напр: невозможно точно пересчитать за ограниченное время большое кол-во объектов; 2) замена бесконечности процессов конечной последовательностью действий. Напр: Если ряд ограничить n-ым числом, а сумму ограниченного числа принять за sinx, то получим погрешность; 3) Округления. Округление исх.данных(const e,пи), промежуточных и окончательных округлений; 4) Вносимые комп-ом обусловлены конечностью разрядности сетки вычислительной техники. Напр: если в комп-ом вычислении врозникает число < еденицы последнего разряда=>воспринимается как машинный нуль; 5) Неточности задания исх.данных. Напр: несовершенство измирительной аппаратуры и инструмента, ошибки метода измерений; 6) Вычислений, при выполнении арифм.операций, расчёт функций по нечётным аргументам. Напр: нельзя точно 10:33; 7) Моделей. Моделирование обусловлено неточностями(абстрогированием описания реального объекта или процесса; 8)несовершенство математ.методов. При переходе от аналитической модели к численной. Абсолютная точность на практике не имеет смысла.

Абсолютная погрешность приближённого числа а^* равна модулю разности м/у точным числом а и его значением, полученным в результате измерения или вычисления:Δа=/а-а^*/. Чаще всего точное значение а неизвестно, поэтому вводят понятие: предельной абсол.погрешности – верхняя оценка абсол.погрешности. Предельная абсол.погр. Δа^/ заведомо превосходит истинную абсол.погр: /а-а^*/< Δа^/. В этом случае точное значение лежит м/у границами а^* - Δа^/ и а^* + Δа^/. Напр: длинна отрезка L=215см измерена с абсол.погр.=0,01 см, тогда пишут L=215+-0,01 см. Пред.абсол.погр. ΔL`=0.01cм, а точное значение длины лежит в границах 214.99<L<215.01.

Относительной погрешностью приближённого числа а^* наз-ся отношение абсол.погр. к модулю точного числа а: / . Из опред-ия следует, что точность прибл.результата увел по мере умен относительной ошибки. Из практической неизвестности точного значения а его заменяют на приближённое число а^*: / . Это приводит к погрешности 2-го порядка малости. Относительную погрешность часто вычисляют в %: / %. Пример: const π=3.14159… ограничим до 3,14=>(0.00159*100)/3.14=0.056,еслиπ=3,142=>δ=(0.0041*100)/3.142=0.013

Определяющим точность вычисления явл-ся число значащих цифр результата.

Значащими цифрами приближённого числа а^* называются все знаки в десятичном изображении, начиная с первой нулевой цифры. Напр: Число 0,0(2503), (6,0500), в скобках значащие. При написании целых чисел нули справа м.б как значащими, так и незначащими. Напр: число 899769 округлили (900)000, в скобках значащее. Относительная точность приближённого числа определяется только числом значащих цмфр. Значащие цифры м.б достоверными (верными) или сомнительными (недостоверными).

Верная ифра-погрешность, кот не превышает половины единицы следующего разряда, иначе сомнительная. Напр: в числе 28,6712 при Δа=0,005, 28.67(12), _-верны,()-сомнительны. Для сохранения нужного числа верных цифр приближённое число округляют. Ринцип Крылова: приближённое число записывают так, чтобы в нём все значащие цифры, кроме последней, были верными, и лишь последняя цифра была сомнительной, и притом не более как на 1-2 единицы. Напр: Пусть число 18832741 приближённое, 4-ая цифра «3» уже сомнительная, отсюда запишем 1,883*10⁷;если сомнительная 5-ая цифра «2»,отсюда 1,8833*10⁷

Правила округления чисел; 1) если первая слева из отбрасываемых цифр >5, то последняя из сохраняемых увел.на 1 (86,361=86,4); 2) если первая из отброшенных цифр>5, то последняя из оставшихся остаётся без изменений (55,62=55,6); 3) если в точном числе последней цифрой явл-ся 5, то предшествующая ей цифра увел.на 1, только в том случае, когда она нечётная (35,965=35,96 и 49,875=49,88). Так как при вычислениях избыточные и недостаточные числа встречаются приблизительно = число раз, то происходит взаимная компенсация погрешностей.

Погрешность вычисления функции: Пусть рассматривается непрерывно дифференцируемая ф-ия аргументов y=f(x₁,x₂,…,x_n), значения кот-х известны приближённо (x_j^*,j=1.n). Требуется найти погрешность приближённого значения функции или приращение ф-ии за счёт приращения её аргументов. Т.к Δx_j=x_j- x_j^*, то приращение ф-ии есть модуль разности /Δy/-/f(x₁+Δx₁, x₂+Δx₂,…, x_n+Δx_n)-f(x₁,x₂,…,x_n)/. С др.стороны полный дифферинциал от ф-ии у= f(x₁,x₂,…,x_n) равен . Погрешности Δx_j достаточно малы, отсюда на практике их квадратами и высшими степенями пренебрегают. Т.к значение ф-ии /Δу/ можно заменить дифферинциалом, а dx_j= Δx_j, отсюда . Если Δx_j-предельная абсолютная погрешность приближённого значения ф-ии равна . Относительная погрешность приближённого значения ф-ии / .Напр: 1)V=a³,dV=3a²da,ΔV=3a²Δa, 2) sinφ=a/c, dφ=(c*da-a*dc)/(a²+c²), Δφ=(c*Δ_aa-a*Δ_c)/(a²+c²).

Погрешности реальных вычислений:

Сложение чисел: Пусть сумму l приближённых чисел с разным кол-ом верных цифр: S= . Тогда предельная погрешность вычисления S равна: , где К_j – число верных цифр у j-го слагаемого, причём k₁=<k_2­=<…=<k_l. При сложении разных чисел с одинаковой относительной погрешностью δ (случай характерен для комп-х программ) имеем следующее: 1) при сложении двух чисел абсолютная погрешность после после округления Δ₂=δ*(а₁+а₂); 2) при сложении трёх чисел Δ₃=δ*((а₁+а₂)+а₃); 3) в общем случае Δ_n=δ*(…(а₁+а₂)+а₃+…+a_n). В наихудшем случае сумма абсол.погр будет Δ_max=Δ₁+ Δ₂+…+ Δ_n= δ*((n-1)а₁+(n-2)а₂)+…+a_n). Общая абсол.погр вычисления суммы (с округлением): Δ= Δ_max+δ*(а₁+а₂+…+a_n)=δ*(nа₁+nа₂+(n-1)а₃+…+3a_n-1+2a_n). Напр: надо сложить точные числа 0,2897+0,4976+2,488+7,259+16,38+62,49+216,2+523,8+1403+5291, точный результат =7522,9043.Если сложить сначала большие числа, то имеем 7520 и Δ=2,9. с малых 7523 и Δ=0,1. Вывод: сначала надо складывать малые числа, надо предварительно ранжировать числа.

Вычитание чисел: При вычитании одна особенность! Относительная погрешность разности чисел равна и отсюда видно, что при вычислении разности близких по значению чисел, погрешность вычислений м.б значительно выше δ_а и δ_и, чтобы не допустить потери точности следует: задать эти числа с повышенной точностью; преобразовать вычислительную схему, чтобы разности величин вычислялись непосредственно.Напр:Найдём разность ,где α<<a, a>0

Произведение чисел: При умножении n<10 приближённых чисел с k верными цифрами в наихудшем случае произведение будет иметь k-2 верных цифр (δ=<0.5*10-(k-2)). Для произведения 2 чисел δ=<0.5*10-(k-1). При этом у сомножителей необходимо иметь пару сомнительных цифр.

Деление чисел: при делении двух чисел c k верными цифрами частное имеет в наихудшем случае k-1 верную цифру при условии, что старшие значащие цифры делимого и делителя отличны от 1. В противном случае k-2 верных значащих цифр.

Рекомендации: 1) при сложении и вычитании приближённых чисел: выделить число наименьшей абсолютной точности; наиболее точные числа округлить так, чтобы сохранить в них на один знак больше, чем в выделенном числе; произвести вычисления, учитывая все сохранённые знаки; полученный рез-т округлить на один знак. Напр: числа 5,8+287,649+0,308064=5,8+287,65+0,31>293.76=293.8/

2)при умножении делении прибл. Чисел в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с наименьшим кол-ом верных значащих цифр. Напр: 0,256*0,11=0,02816=0,028. При возведении прибл.числа в квадрат или куб, необходимо в результате сохранить столько верных значащих цифр, сколько верных значащих имеет основание степени. Напр: (0,25)²=0,0625=0,062

3)при извлечении квадратных или кубических корней нужно брать столько значащих цифр, сколько верных цифр имеет подкоренное число. Напр: корень из 24,6=4,96

4)во всех промежуточных результатах, следует сохранять на одну цифру больше, чем в прав. 1-3.