- •Системы линейных уравнений. Разрешимость систем линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли).Методы решения.
- •Основные алгебраические структуры: группы, кольца , поля. Основные свойства. Примеры.
- •1. Гомоморфный образ группы также является группой относительно своей операции.
- •2. Пусть f: g1®g2 – гомоморфизм групп. Тогда
- •Композиция любых двух (или нескольких) гомоморфизмов (моно, эпи) является гомоморфизмом (моно, эпи).
- •Определители и их свойства. Основные методы вычисления определителей.
- •Линейные пространства, подпространства. Примеры. Свойства пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис пространства.
- •5. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства и отыскание.
- •6. Корни многочлена. Методы нахождения корней. Результант многочленов, его связь с корнями.
- •7. Поле комплексных чисел. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексных чисел.
- •8. Линии второго порядка, их канонические уравнения, фокусы, директрисы, асимптоты.
- •9. Прямая и плоскость в пространстве, их уравнения. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
- •10. Проективная плоскость. Координаты точки и прямой. Особенности линий второго порядка.
- •11. Операции над векторами векторного пространства v3. Векторный метод в решении геометрических задач.
- •12. Предел непрерывность функций одной и нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •13. Производная и дифференциал функции одной и нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости.
- •14. Определенный интеграл, его свойства. Основная формула интегрального исчисления.
- •15. Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости: Даламбера, интегральный, Лейбница.
- •18. Производная функция комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция.
- •19. Степенные ряды в действительной и комплексной области. Радиус сходимости.
- •20. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, сходимость ряда Фурье.
- •21. Уравнения в частных производных. Основные задачи математической физики. Метод Фурье.
- •23. Множества и способы их задания. Отношения и отображения. Понятие о мощности. Счетные и континуальные множества.
- •Свойства счетных множеств
- •Графическое представление
- •5. Основные тождества алгебры множеств
- •Принципы математической индукции
- •Отображение отношения функции
- •24. Коды постоянной и переменной длины, примеры их использования. Принцип работы архиватора.
- •25. Задача потребительского выбора и ее решение.
- •26. Понятие эластичности, геометрический смысл. Свойства эластичности, эластичность элементарных функций.
- •27. Производственная функция. Закон убывающей эффективности.
- •28. Транспортная логистика. Транспортная система России, ее особенности и характеристики. Маршруты движения автотранспорта. Математические методы для организации материала потока.
- •29. Задачи линейного программирования. Экономический анализ задач с использованием теории двойственности.
- •3) Двойственная задача.
- •30. Нелинейное программирование. Методы решения задач.
Системы линейных уравнений. Разрешимость систем линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли).Методы решения.
Пусть дано Р – некоторое числовое поле. Его элементы числа или скаляры. Пусть – переменные из поля Р. Предикат от n переменных а1x1 + а2x2+ …+ аnxn = b, где а1, а2, …, аn, bP (элементы из P), называется линейным уравнением с n неизвестными над полем Р. Упорядоченная n-ка чисел , где ( - альфа) является решением линейного уравнения, если она обращает его в истинное высказывание: 1a1 + 2a2+ …+ nan = b.
Предикат - это тождественный предикат. Этому уравнению удовлетворяет любая n-ка чисел. Если -> тождественно ложный предикат (решений нет).
Системой линейных уравнений будем называть непустое конечное множество линейных уравнений. Системой линейных уравнений является конъюнкцией предикат.
, m – число уравнений.
Краткая запись системы:
Решением системы ЛУ (*) называется любая упорядоченная n-ка чисел, являющаяся решением каждого уравнения данной системы.
Если система ЛУ имеет хотя бы 1 решение, то ее называют совместной.
Если множество решений системы пусто, то ее называют несовместной.
Пример: 1. , (1,1,1)- решение этой системы, система совместна. 2. - эта система несовместна.
2 системы будем называть равносильными, если множества их решений совпадают.
Все несовместные системы равносильны.
Пусть имеются 2 линейных преобразования:
.
Под их суммой будем понимать уравнение:
Под произведением скаляра на уравнение будем понимать уравнение вида:
.
Пусть имеется СЛУ (*). Под элементарными преобразованиями понимают: 1. перестановка уравнений местами; 2. умножение любого уравнения системы на любой 0 скаляр; 3. прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на любой скаляр; 4. добавление к системе или исключение из него уравнение вида 0=0.
Теорема (об элементарных преобразованиях системы). В результате элементарных преобразований получаем систему, равносильную исходной.
Методы решения СЛУ:
1 метод: Метод последовательного исключения переменных или метод Гаусса
Теорема: Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) – применим к любой СЛУ, при этом система будет несовместна, если в процессе преобразований мы получим уравнение вида 0=b. Если же такого уравнения мы не встретим, то система будет совместной. И она будет иметь единственное решение, если она приводится к треугольному виду, и иметь бесконечно много решений, если она приводится к ступенчатому виду. Замечание: Практически процесс решения системы можно облегчить, если вместо преобразований над системой производить преобразования над коэффициентами, записанными виде упорядоченных таблиц. Представление столбцов в таблице возможно, так как оно обозначает замену переменных.
ЛУ называется однородным, если свободный член = 0. СЛУ, состоящая из однородных уравнений, называется однородной СЛУ. Такая система всегда совместна, т.к. ее решением всегда является нулевое решение. Теорема: если в однородной СЛУ число уравнений < числа неизвестных, то эта система имеет бесконечно много решений.
Система уравнений называется неоднородной, если . Система называется однородной системой линейных уравнений, ассоциированной с системой (2).
Теорема Кронекера – Капелли (критерий совместности СЛУ): СЛУ совместна , когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной.
Доказательство.
. Дано: СЛУ – совместна. Док-ть: ранг А = ранг В. (rang - ранг). Пусть дана СЛУ . Так как система (1) совместна, то она имеет хотя бы одно решение. Пусть - является решением этой системы. . - это означает, что b является линейной комбинацией векторов от системы векторов , можно с помощью элементарных преобразований перейти к системе . А так как при элементарных преобразованиях ранг не меняется, то столбцевой ранг матрицы A = столбцевому рангу матрицы B. rangA=rangB. (по определению)
Дано: rangA=rangB=r. Док-ть: система (1) – совместна.
Пусть для определенности столбцевой ранг матрицы A= r, и первые r – столбцов матрицы A – базисные. - (*) – (базисные). Векторы – столбцы системы (*) входят в систему столбцов матрицы B. Они образуют линейно независимую систему векторов. И так как rang системы = r, то система (*) является базисом векторов – столбцом матрицы B. По определению базиса все векторы линейно выражаются через (*). - сжатый вид. . - решение системы (1). След-но, система совместна. Доказано.
2 метод: С помощью обратной матрицы. Пусть имеется СЛУ , . 1. Сначала найти обратную матрицу. 2. Затем решить систему , где , , - обратная матрица.
3 метод. Метод Крамера (если определитель ): Теорема: Пусть имеется система из n ЛУ с n неизвестными.
Если определитель основной матрицы не равен 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:
…,
где Аi получается из матрицы А заменой i-того столбца столбцом свободных членов. Этот метод сложнее, чем метод Гаусса и применяется реже, когда определитель 0.