Аннотация 3

Методические указания для студентов 5

Глава 1. Уравнение прямой и кривые второго порядка на плоскости 6

Блок самопроверки: 10

Список литературы: 11

Глава 2. Понятие вектора и операции над векторами 11

Блок самопроверки: 15

Список литературы: 16

Глава 3. Уравнения прямой и плоскости, поверхности второго порядка в пространстве 16

Блок самопроверки: 27

Список литературы: 28

Глава 4. Матрицы и операции над ними. Определитель и ранг матрицы, их свойства 28

Блок самопроверки: 38

Список литературы: 42

Глава 5. Системы линейных уравнений, способы их решения 43

Блок самопроверки: 48

Список литературы: 52

Глава 6. Теория пределов, непрерывные функции, разрывы 52

Блок самопроверки: 72

Список литературы: 75

Глава 7. Производная, порядок и свойства производной, исследование функций 76

Блок самопроверки 96

Список литературы 100

Глава 8. Интеграл, его свойства, вычисление площадей и объемов фигур 101

Блок самопроверки 104

Список литературы 113

Глава 9. Ряды, виды рядов, сходимость рядов 114

Блок самопроверки 116

Список литературы 119

Глава 10. Дифференциальные уравнения, их виды и решение 119

Блок самопроверки 120

Список литературы 121

Глава 11. Комбинаторика. События, действия с ними, вероятность, виды, основные теоремы и формулы 121

Блок самопроверки 131

Список литературы 143

Глава 12. Случайные величины, их виды, законы и функции распределения. Закон больших чисел 143

Блок самопроверки 159

Список литературы 165

Глава 13. Математические модели видов и процессов в системе социальной работы 166

Блок самопроверки 171

Список литературы 171

Глава 14. Математические методы исследования в социальной работе 172

Блок самопроверки 189

Список литературы 196

Глоссарий 197

Аннотация

В структуре учебно-методического пособия по дисциплине «Математика» предусмотрены три модуля, относительно самостоятельные разделы учебного курса.

В первом модуле рассматриваются основные понятия и положения аналитической геометрии и линейной алгебры. В рамках аналитической геометрии рассматриваются различные формы записи уравнения прямой на плоскости, взаимное расположение прямых, прямой и точки. Уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы, их свойства и изображение. Декартова прямоугольная система координат. Понятие вектора, координаты вектора, направляющие косинусы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на вектор. Определение и свойства скалярного, векторного и смешанного произведений векторов. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых, плоскостей, и точек в пространстве. Уравнение сферы, эллипсоида, гиперболоида и параболоида. Их свойства и изображение.

В рамках линейной алгебры рассматриваются понятие матрицы, виды матриц. Операции над матрицами (умножение на число, сложение, вычитание, перемножение и транспонирование) и их свойства. Определители второго и третьего порядков. Свойства определителей. Алгебраические дополнения и миноры. Понятие об определителях любого порядка. Ранг матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными. Однородные и неоднородные системы уравнений. Решение систем методом Гаусса. Понятие о линейных системах с любым числом неизвестных. Матричное представление линейных систем уравнений. Матричный метод решения линейных систем. Метод Крамера. Метод обратной матрицы.

Во втором модуле рассматриваются основные понятия и положения интегрального и дифференциального исчислений, теории рядов и дифференциальных уравнений. В рамках интегрального и дифференциального исчислений рассматриваются числовая последовательность, определение предела. Общие теоремы о пределах. Функция. Виды функций. Функции нескольких переменных. Пределы функций. Определение и свойства непрерывных функций. Точки разрыва, классификация точек разрыва. Определение производной. Дифференциал. Теоремы о конечных приращениях. Геометрический смысл производной. Правило Лопиталя. Производные высших порядков. Частные производные функции нескольких переменных. Исследование функции на возрастание, убывание, экстремум и вогнутость, выпуклость, перегиб. Асимптоты графика функции. Производная функции нескольких переменных, частные производные. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Методы вычисления неопределенного интеграла. Определенный интеграл и его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла. Двойные интегралы.

Далее дается понятие числового ряда, понятие о сходящихся и расходящихся рядах. Критерий Коши и следствия из него. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. Понятие знакочередующегося ряда. Абсолютная и условная сходимость рядов с членами любого знака. Понятие степенного ряда. Интервал и радиус сходимости. Свойства степенных рядов. Разложение функции в степенной ряд.

Завершается второй модуль темой дифференциальных уравнений, в рамках которой рассматриваются дифференциальные уравнения первого порядка, их решение, задача Коши. Общее и частное решение уравнений. Геометрический смысл. Определение и виды дифференциальных уравнений второго порядка. Основные методы решения дифференциальных уравнений второго порядка.

В третьем модуле рассматриваются основные понятия и положения теории вероятностей и математической статистики, в том числе, в приложении к социальной работе. В рамках теории вероятностей рассматриваются элементы комбинаторики (размещение повторное и бесповторное, перестановка, сочетание), пространство элементарных исходов. Типовые комбинаторные задачи. Событие, действия над событиями. Статистическая, классическая и геометрическая вероятность. Совместные и несовместные события, теорема сложения вероятностей. Зависимые и независимые события, условная вероятность, теорема умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Байеса. Повторные независимые испытания (схема Бернулли). Формулы Бернулли и Пуассона. Предельные теоремы Муавра-Лапласа.

Математическая статистика, математические модели и методы в социальной работе раскрываются в ходе рассмотрения понятия случайной величины, дискретных и непрерывных случайных величин, математического ожидания и дисперсии, функции распределения случайной величины. Далее рассматриваются законы и функции распределения случайных величин: биноминальное, геометрическое, гипергеометрическое, Пуассона, равномерное, показательное (экспоненциальное) и нормальное (Гаусса). Неравенства Маркова и Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Бернулли. Обоснование понятий выборки и генеральной совокупности.

Особое внимание уделяется рассмотрению основных направлений математического моделирования. Даются общие представления об аппроксимации (экстраполяции и интерполяции) эмпирических данных, линейном и нелинейном регрессионном анализе, методе наименьших квадратов (задачи оптимизации), а также применении методов математической статистики для исследования социальных процессов и явлений. Рассматриваются основные характеристики выборки и генеральной совокупности, статистические гипотезы, их верификация и фальсификация, уровень статистической значимости, сравнительный анализ и анализ взаимосвязей.