Список литературы

1. Балдин, К.В. Краткий курс высшей математики / К.В.Балдин, Ф.К.Балдин, В.И.Джеффаль – М.: Дашков и Ко, 2009 (электронный ресурс «Университетская библиотека»);

2. Малыхин, В.И. Высшая математика: Учебное пособие / В.И.Малыхин – М.: Инфра-М, 2009 (электронный ресурс «Университетская библиотека»);

3. Самарин, Ю.П. Высшая математика / Ю.П.Самарин, Г.А.Сахабиева, В.А.Сахабиев – М.: Машиностроение, 2006 (электронный ресурс «Университетская библиотека»).

Глава 9. Ряды, виды рядов, сходимость рядов

1. Основные понятия

Определение. Пусть задана бесконечная последовательность чисел . Тогда выражение

                                      (9.1)

называется числовым  рядом. Здесь  – общий член ряда.

Определение. Суммы вида    называются частичными суммами ряда (1).

Определение. Если последовательность  частичных сумм имеет предел, то ряд (9.1) называется сходящимся. Этот предел называется суммой ряда.

2. Признаки сходимости

Критерий Коши. Функция f имеет конечный предел в точке x₀ тогда и только тогда, когда

Особую роль играют два замечательных предела:

Если , то

Необходимый признак сходимости. Если ряд (9.1) сходится, то . Обратное утверждение неверно, то есть данное условие может выполняться, но ряд будет расходиться.

Достаточные признаки сходимости

Признак сравнения. Имеем два ряда с положительными членами

;                                    (9.2)

.                                    (9.3)

Пусть имеется такой номер N, что для всех членов ряда, у которых  выполняется . Тогда из сходимости ряда (9.3) следует сходимость  ряда (9.2), а из расходимости ряда (9.2) следует расходимость ряда (9.3).

Признак Даламбера

Пусть дан ряд с положительными членами  и существует . Тогда при   ряд сходится, а при  расходится, а при  вопрос остается открытым.

3. Знакопеременные ряды

Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные  члены, называется знакопеременным.

Знакочередующимся называется ряд вида

, где .

Ряды вида  также называются знакочередующимися.

Признак абсолютной сходимости

Знакопеременный ряд

   (9.4)

сходится, если сходится ряд

                                        (9.5)

Ряд (9.4) называется в этом случае абсолютно сходящимся. Если ряд (9.4) сходится, а ряд (9.5) расходится, то ряд (9.4) называется условно сходящимся. При этом сходимость ряда (9.4) можно в ряде случаев установить без исследования ряда (9.5).

Признак сходимости Лейбница

Пусть имеется знакочередующийся ряд .

Если одновременно выполняются следующие два условия:

1) ,

2) , то такой ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена: .

4. Степенные ряды

Определение. Ряд вида  называется степенным рядом. Здесь постоянные величины a₁, a₂, …, a_k,… – коэффициенты ряда, a₀ – свободный член. Степенные ряды являются одним из видов функциональных рядов вида

                  (9.6)

Очевидно, любой степенной ряд сходится при х=0. Для любого степенного ряда имеется интервал (–R, R), называемый интервалом сходимости, в каждой точке которого ряд сходится, а вне интервала ряд расходится. На границах интервала ряд может либо сходится, либо расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, он находится по формуле:

.                                                           (9.7)

Таким образом, поиск области сходимости степенного ряда заключается в определении его радиуса сходимости R и исследования сходимости ряда на границах интервала сходимости (при ).

Разложение функции f(x) в ряд Маклорена имеет следующий вид:                 (9.8)