Блок самопроверки:

Пример 1.

Пределы не содержащие неопределенности:

, аналогично решаются остальные примеры

, , , , , , , , , , , , , , ,

Пределы с неопределенностью вида  

Пример 2.

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 3.

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 4.

Разделим числитель и знаменатель на

Пределы с неопределенностью вида

Пример 5.

Разложим числитель на множители.

Пример 6.

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:

Знаменатель:

,

Пример 7.

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Пример 8.

Разложим числитель на множители:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Список литературы:

1. Балдин, К.В. Краткий курс высшей математики / К.В.Балдин, Ф.К.Балдин, В.И.Джеффаль – М.: Дашков и Ко, 2009 (электронный ресурс «Университетская библиотека»);

2. Малыхин, В.И. Высшая математика: Учебное пособие / В.И.Малыхин – М.: Инфра-М, 2009 (электронный ресурс «Университетская библиотека»);

3. Самарин, Ю.П. Высшая математика / Ю.П.Самарин, Г.А.Сахабиева, В.А.Сахабиев – М.: Машиностроение, 2006 (электронный ресурс «Университетская библиотека»).

Глава 7. Производная, порядок и свойства производной, исследование функций

Определение и геометрический смысл производной

Пусть функция f(x) непрерывна в точке .

Определение. Производной от функции в точке называется величина

Дадим некоторые расшифровки этого важнейшего понятия математического анализа.

а) Вспоминая определение предела можно записать определение через кванторы .

б) Величина называется приращением аргумента, а величина приращением функции. Тогда

в) Обозначая , можно записать

Понятие производной впервые появилось в физике в связи с понятием скорости. Пусть некоторая материальная точка движется по оси так что есть координата точки в момент времени . Спустя время dt координата точки будет , т.е. за время точка пройдет путь . Поэтому средняя скорость точки за интервал времени будет равна . Чтобы найти мгновенную скорость точки в момент времени надо устремить кнулю, т.е.

Таким образом, производная от координаты точки определяет ее мгновенную скорость. Поэтому и производную функции в некоторой точке можно трактовать как скорость изменения функции.

Дадим еще геометрический смысл производной. В определение производной входят две операции: деление и предельный переход при . Что же это дает?

Нанося на график точки с координатами ( , ) и ( , ) мы получим фигуру изображенную на рисунке. Проведем через эти точки линию, которая называется секущей. Тогда дробь есть не что иное как , где есть угол наклона секущей к оси OX.

Но, в определении производной есть еще предельный переход при . Что же дает этот предельный переход?.

При точка M начинает двигаться к точке M₀. При этом вся секущая будет поворачиваться около точки M₀ и в пределе она превратиться в касательную к точке M₀. Угол при этом перейдет в угол , который эта касательная образует с осью OX. Поэтому можно утверждать, что

где угол, образованный касательной к кривой в точке и осью OX.

Алгебра производных

Выведем важнейшие формулы, касающиеся вычисления производных. В дальнейшем и - некоторые функции, у которых существуют и , а C - некоторая константа (число).

1.

Доказательство

2.

Доказательство

Аналогично выводится формула для .

3.

Доказательство

В числителе дроби прибавим и вычтем комбинацию

4.

Доказательство

прибавляем и вычитаем в числителе комбинацию

5.

В выражении подразумевается, что производная от функции берется так, как будто является единым целым (аргументом).

Доказательство

Пусть аргумент получил приращение . Тогда функция > получила приращение так что . Поэтому

делим и умножаем дробь на

Все эти формулы сведены в следующую таблицу, которую следует запомнить (кроме последней формулы).

Таблица 1.

Функция	Производная

Таблица производных

Выведем теперь таблицу производных от элементарных функций

1.

Действительно, если , то

2.

Имеем

вынесем вверху за скобки

Сделаем “замену переменных” . Тогда и

Так как мы получили один из замечательных пределов. Рекомендуется запомнить некоторые частные случаи этой функции этой формулы

а)

б)

3.

Имеем

так как мы снова имеем один из замечательных пределов.

Особенно простой результат получается при

4.

сделаем “замену переменных” . Тогда и

Особенно простой результат получается при

5.

Имеем

где так же использован замечательный предел.

6.

7.

Так как , то

8.

Вывод аналогичен

9.

В данном случае и , т.е. . Поэтому

10.

Вывод аналогичен

11.

В данном случае и , т.е. . Поэтому

12.

Вывод аналогичен

Все эти формулы сведены в таблицу, которую следует заучить

Таблица 2

функция	производная
1.
2.
2а.
2б.
3.
3а.
4.
4а.
5.
6.
7.
8.
9.
10. arccos x
11.
12.

Особые случаи

То, что в точке функция непрерывна не означает, разумеется, что в этой точке у нее обязательно существует производная. Функция может быть непрерывной, а производной может и не существовать. Что же там может быть?

А. Односторонние производные

Назовем

производной от функции в точке слева, а

производной в той же точке справа. Разумеется, если , то это означает, что в точке существует . Но могут быть случаи, когда и существуют, но не равны друг другу. В этом случае не существует и . График функции имеет в точке в этом случае “излом”, и в этой точке к графику можно провести две касательные .

Б. Бесконечная производная

Рассмотрим функцию определенную для и потребуем найти . Имеем

и производная равна .

Рассматривая график функции легко увидеть, что это означает просто то, что в точке касательная к графику параллельна оси OY.

В. Несуществование производной

Наконец, может быть ситуация, когда , фигурирующий в определении производной, не существует.

Рассмотрим для примера, . Так как , то . Поэтому полагая получим

и этот предел просто не существует.

Из графика функции видно, что с приближением к точке касательная колеблется, не стремясь ни к какому определенному положению.

В математике построены даже примеры функций, которые являются непрерывными, но ни в одной точке не имеют производной.

Теоремы Ферма и Ролля

Теорема Ферма. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке и в некоторой внутренней точке этого промежутка достигает своего наибольшего или наименьшего значения, если в этой точке существует производная, то она равна нулю: .

Доказательство

Пусть, для определенности, в точке функция достигает своего наибольшего.

По условию теоремы эта точка внутренняя, т.е. , и поэтому к этой точке можно подойти и слева и справа.

Пусть мы подходим к слева. Тогда

(т.к. - наибольшее значение)

(т.к. мы подходим слева)

Делая предельный переход получим

Пусть мы подходим к точке справа. Тогда

(т.к. - наибольшее значение)

(т.к. мы подходим слева)

Делая предельный переход получим

Совместить два полученных неравенства можно только в одном случае: . ч.т.д.

Геометрический смысл доказанной теоремы ясен из рисунка: в точке наибольшего или наименьшего значения функции касательная к графику функции параллельна оси OX.

Существование ограничений

В теореме Ферма по сути дела два ограничения: а) точка расположена внутри отрезка и б) . Покажем, что оба ограничения являются существенными, т.е. отказ от любого из них приводит к тому, что утверждение теоремы становится неверным.

а) “внутренность” точки .

Если максимум или минимум функции достигается на границе отрезка, то утверждение теоремы Ферма неверно. При доказательстве это проявляется в том, что мы сможем подойти к точке только с одной стороны и поэтому не получится второго, противоположного неравенства.

б) существование производной.

Пусть в точке существуют только односторонние производные. Тогда, как это видно из рисунка, теорема Ферма неверна. При доказательстве это проявиться в том, что получаться неравенства и , которые нельзя будет объединить в одно равенство, т.к. теперь

Теорема Ролля. Пусть функция

а) определена и непрерывна на ;

б) ;

в)

Тогда существует точка в которой .

Доказательство этой теоремы следует из такой логической цепочки рассуждений:

1. Так как определена и непрерывна на , то, по первой теореме Вейерштрасса, она ограничена на , т.е. существуют конечные и .

2. Если , то есть константа, т.е. и поэтому . В качестве точки c можно взять любую точку из .

3. Если , то, в силу условия и второй теоремы Вейерштрасса, хотя бы одно из значений или достигается во внутренней точке промежутка ,по теореме Ферма, в этой точке (их может быть и две) производная равна нулю.

ч.т.д.

Формулы Коши и Лагранжа

Теорема. Пусть функции и

а) определены и непрерывны на ;

б) и ;

в)

Тогда существует точка такая, что

.

Эта формула носит название формулы Коши.

Доказательство. Прежде всего отметим, что , иначе, по Теореме Ролля, существовала бы точка , где , что противоречит ограничению “в”.

Рассмотрим функцию

Она

а) определена и непрерывна на , т.к. и функции и непрерывны на

б)

в)

Таким образом, для выполнены все условия Теоремы Ролля. Поэтому такая, что

,

но тогда в этой точке

что и дает формулу Коши.

Формула Лагранжа

Рассмотри частный случай, когда . Тогда формула Коши приобретает вид

или

где . Эта формула и называется формулой Лагранжа. В дальнейшем мы будем на нее часто ссылаться.

Заметим, что точка c не обязательно единственная: может быть несколько точек c, удовлетворяющих формулам Коши или Лагранжа.

Рассмотрим еще вопрос о геометрическом смысле формулы Лагранжа. Пусть мы имеем график . Проведем через точки и секущую. Она образует с осью OX угол и . Но есть тангенс угла, который касательная к кривой в точке образует с осью OX. Поэтому формулу Лагранжа можно трактовать так: существует точка , касательная в которой параллельна секущей, соединяющей точки и .

Дифференциал

Рассмотрим важное для дальнейшего понятие дифференциала.

Напомним, что величина называется приращением функции.

Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде

Определение 2. Линейная часть приращения функции, т.е. называется дифференциалом функции и обозначается

Чтобы точно уяснить эти определения функции рассмотрим пример. Пусть . Тогда

Заметим, что содержит слагаемое, линейное по , слагаемые с и . Так вот, только слагаемое, линейное по дает дифференциал, т.е.

Теорема о дифференцируемости функций

Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная . При этом .

Доказательство

Необходимость. Пусть дифференцируема в точке . Это значит, что

Деля на

и переходя к пределу , получим

Достаточность. Пусть в точке существует производная

Это, по определению, означает, что

где - бесконечно малая величина. Отсюда следует, что

Но и поэтому

что и требовалось доказать.

Выражение для дифференциала

Итак, мы получили, что для дифференцируемой функции . Это означает, что

.

Но если взять , то мы получим, что , т.е. дифференциал независимой переменной равен ее приращению. Поэтому окончательно

Отсюда следует, что

т.е. производная есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной. Заметьте, что есть обычная дробь и с ней можно обращаться как с обычной дробью.

Геометрический смысл дифференциала

Вспомним, что есть тангенс угла наклона касательной к оси OX. Поэтому, если провести касательную к кривой в точке , то будет катетом, который противолежит углу в треугольнике, гипотенуза которого образована касательной, а другой катет есть приращение На рисунке нарисован и отрезок , так что видно отличие и .

Правила дифференцирования

Пользуясь формулой выведем несколько важных формул, касающихся дифференциалов.

1.

Действительно

2.

Имеем

3.

Имеем

4.

Имеем

.

5.

Имеем

В качестве приложения понятия дифференциала выведем формулу для производной от функций заданных параметрически.

Параметрическое задание функции заключается в том, что и и задаются как функции некоторого параметра , т.е.

,

Значение параметра определяет одновременно и и , и, тем самым, некоторую точку на плоскости. Меняя мы двигаем точку на плоскости и она описывает некоторую кривую, определяющую зависимость от . Параметрическое задание функции считается самым общим способом задания кривых на плоскости.

Имеем

Отсюда производная от по имеет вид

Сокращая на получим окончательно

Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть имеется функция , от которой мы вычислили первую производную . Но снова является функцией и от нее можно тоже вычислить производную. Производная от первой производной т.е. называется второй производной и обозначается :

Аналогично, производная от второй производной называется третьей производной

.

Аналогично определяются производные более высоких порядков. Отметим только, что производные более высоких порядков отмечаются не штрихами (их было бы слишком много) а цифрами, заключенными в скобки - , и т.д.

Итак, производная n-го порядка определяется как производная от производной (n-1)-го порядка

Основные формулы, касающиеся производных высших порядков, следующие:

1.

2.

3.

Первые две формулы очевидны. Третью формулу, носящую название формулы Лейбница, мы доказывать не будем. При ее применении следует только иметь ввиду, что производной нулевого порядка считается сама функция, т.е. .

Аналогично этому, дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого дифференциала, т.е.

Выведем формулу для . Имеем

При дальнейшем преобразовании следует иметь в виду, что , совпадающее с приращением аргумента , есть величина, совершенно не зависимая от , т.к. мы можем взять каким угодно. Поэтому по отношению к

.

Скобки у обычно не пишут

Отсюда

Аналогично, дифференциал третьего порядка определяется как дифференциал от второго дифференциала

Имеем

так что

;

В общем случае

Легко показывается по индукции, что

; .

Функции нескольких переменных

Определение. Переменная z называется функцией переменных х и у, если каждой паре значений х и у в некоторой области их изменения поставлено в соответствие  одно значение z. Функциональную зависимость z от х и у записывают в виде: z=f(x,у). Это уравнение определяет некоторую поверхность в пространстве R³.

Геометрическим образом функции z=x²+y² является параболоид. Пусть z=a, тогда x²+y²=a, т.е. линия пересечения плоскости z= a с поверхностью z=x²+y² есть окружность x ²+ y ²= a радиуса . Пусть у=0, тогда z=x² и, следовательно, при пересечении плоскости Oхz с поверхностью получается парабола. Метод сечений дает возможность лучше представить себе геометрический образ данной функции.

Определение. Число А называется пределом функции z=f(x,у) в точке М₀(х₀, у₀), если для каждого числа ε>0 найдется такое число β>0, что для всех точек М(х,у), для которых выполняется неравенство |ММ₀|<β, будет выполняться неравенство | f(x,у)– A|< ε

Обозначим .

Определение. Функция z=f(x,у) называется непрерывной в точке М₀(х₀,у₀), если имеет место равенство .

5. Частные производные и полный дифференциал 1-го порядка

Определение. Производная от функции z=f(x,у) по х, найденная в предложении, что у остается постоянным, называется частной производной от z по х и обозначается  или f'_x (x,у). Аналогично определяется и обозначается частная производная z по у.

Если функция z=f(x,у) имеет в точке (х,у) непрерывные частные производные, то ее полное приращение может быть представлено в виде:

,                                             (7.1)

где  при .

Определение.  Выражение  является главной частью полного приращения Δz и называется полным дифференциалом функции z=f(x,у) и обозначается dz:

.                                                          (7.2)

Полагая в формуле (2) z равным х, найдем , а при z=y . Поэтому

.                                                           (7.3)

Из (7.1) следует, что .

Функция f(x,y) называется дифференцируемой в точке (х,у), если она имеет в этой точке полный дифференциал.

6. Градиент функции. Производная по направлению

     Определение. z=f(x,у) дифференцируемая функция двух переменных. Тогда вектор  называется градиентом функции z=f(x,у).

Он обладает следующими свойствами:

Пусть  – направляющие косинусы некоторого вектора , т.е. . Тогда  – производная функции z=f(x,у) в данном направлении .

7. Экстремум функции двух переменных

     Определение. Функция z=f(x,у) имеет в точке М₀(х₀,у₀) максимум, если в окрестности этой точки выполняется равенство f(x,у)<f(x₀,у₀).

Аналогично определяется минимум функции z=f(x,у) в точке М₀(х₀, у₀).

Необходимый признак экстремума

Если М (х₀,у₀) – точка экстремума дифференцируемой функции z=f(x,у)), то

 то есть

Достаточный признак экстремума

Пусть z=f(x,у) – функция, для которой существуют производные первого и второго порядка в точке М(х₀,у₀):     . Составим выражение Δ=АС–В².

Если Δ>0, то М(х₀, у₀) – точка экстремума, а именно: точка максимума при A<0 (если C<0), точка минимума при A>0 (или С>0). Если Δ<0, то в точке М нет экстремума.