Часть 1. Пусть ограниченны сверху, т.Е. Такое, что . Тогда, согласно теореме о существовании супремума мы можем утверждать, что .

Вспомним свойства . Их было два

Но учтем теперь что . Это значит, что . Тогда имеем следующую цепочку неравенств

Выбрасывая лишнее получим, что или , что и говорит о том, что .

Заметьте, что предел равен как раз супремуму множества .

Часть 2. Пусть теперь неограниченна сверху. Это значит, что .

Но . Значит, и поэтому можно записать . Выбрасывая в этом неравенстве , получим окончательно

что и говорит о том, что .

Функция и способы ее задания

Пусть имеются две вещественные оси и . Пусть на оси выбрано некоторое множество . Правило, которое каждому значению ставит в соответствие некоторое число называется функцией одной переменной и обозначается .

Множество , где такое определение имеет смысл, называется областью определения функции. Однако, при доказательстве различных теорем в качестве множества мы будем брать только какую - то часть области определения. Эту часть мы будем называть областью задания функции.

1. Аналитический способ. В этом случае функция задается в виде одной или нескольких формул, описывающих правило, устанавливающее соответствие . Например:

,

2. Графический способ. В этом случае оси и располагаются перпендикулярно друг другу, так что они образуют декартову систему координат. Соответствие для каждого определяет некоторую точку на плоскости . Совокупность этих точек образует некоторую кривую на плоскости , которая называется графиком плоскости. Если нарисован график функции, то тем самым задано и правило, определяющее соответствие .

3. Табличный способ. В этом случае функция задается в виде таблицы, в одном из столбцов которой перечислены значения аргумента , а в другом указаны соответствующие значения . Конечно, в одной таблице перечислить все значения аргумента невозможно, но какое - то представление о виде соответствия такая таблица обычно дает.

4. Алгоритмический способ. В этом случае соответствие задается в виде некоторого алгоритма, позволяющего находить по .

Например:

а) выписать в виде бесконечной десятичной дроби. Например ;

б) выписать без изменения значения и те цифры которые стоят до запятой;

в) после запятой выписать первую, третью, пятую и так далее, т.е. вообще цифры с нечетными порядковыми номерами.

Это и определит значение .

Вряд ли это правило может быть легко записано в виде формул.

Предел функции и его свойства

Определение. Число b называется пределом или предельным значением функции при x стремящимся к a (обозначение: , ) если

.

Это понятие предела также связано с идеей движения. В этом случае движение отражается в том, что при изменении аргумента x изменяется значение функции. Понятие предела возникает при определенном типе такого движения - когда аргумент приближается к a, то значения функции приближается к b.

Приведем без комментариев некоторые варианты этого определения

а) это значит, что

б) это значит, что

в) это значит, что

г) это значит, что

д) это значит, что

Вариантом этого определения являются так называемые односторонние пределы.

Определение. Число b называется пределом или предельным значением при справа (обозначение ) если

Число b называется пределом или предельным значением при слева (обозначение ) если

Напишите сами определение и .

Свойства предела функции

Можно показать, что предельное значение функции обладает теми же свойствами, что и пределы последовательности, в частности

eсли

Если и , то в некоторой окрестности ограничена

Если , то .

Эти свойства доказываются аналогично тому, как доказываются соответствующие свойства для пределов последовательности.

Предел монотонной функции

Определение. Функция называется

- монотонно возрастающей, если из

-строго монотонно возрастающей, если из

- монотонно убывающей, если из

-строго монотонно убывающей, если из .

Докажем одну из возможных здесь теорем.

Теорема. Если монотонно возрастает и ограниченна сверху при , то существует конечный предел слева .

Доказательство. Рассмотрим множество значений функции при . По условию теоремы, это множество ограниченно сверху, т.е. . По теореме о существовании супремума (границы множества) отсюда следует, что существует конечный .

Покажем, что . По свойствам супремума

1.

2.

Обозначим . Возьмем любое x, для которого , но . Как видно из рисунка, из этого следует, что . Но тогда, в силу монотонности

а)

б)

Поэтому имеем

Выбрасывая лишнее получим, что

или, что то же самое, . По определению предела функции это означает, что .

Аналогичные теоремы можно сформулировать и доказать также для монотонно убывающих функций, а так же для пределов слева.

Определение непрерывности функции

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если .

Дадим несколько расшифровок этого важнейшего определения.

а) Вспоминая понятие предела, запишем непрерывность f(x) в точке х0 в виде

б) Так как х₀=lim x, то непрерывность в точке х₀ можно записать в виде

Отсюда следует важнейшее свойство непрерывной функции: для непрерывной функции можно переставлять местами знак функции и знак предельного перехода

в) Обозначим Dx=x-x₀ (приращение аргумента) и Df=f(x)-f(x₀) (приращение функции). Тогда непрерывность в точке х₀ означает, что , т.е. бесконечно-малому приращению аргумента соответствует бесконечно-малое приращение функции.

Введем обозначения:

если эти пределы существуют.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ слева (справа) если f(x₀)=f(x₀ – 0) (f(x₀)=f(x₀+0)). Очевидно,что непрерывность в точке х₀ означает непрерывность слева и справа одновременно.

Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной на некотором множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества, т.е. если

Обратите внимание, где стоит квантор , это важно.

Определение. Если функция f(x) не является непрерывной в точке х₀, то говорят, что в точке х₀ функция f(x) имеет разрыв.

Типы разрывов

А. Пусть существуют конечные f(x₀-0) и f(x₀+0), но они не равны друг другу . Тогда говорят, что в точке х₀функция f(x) имеет разрыв I рода или скачек.

График функции f(x) в окрестности точки х₀ имеет в этом случае примерно такой вид:

Величина |f(x₀+0)-f(x₀-0)| называется величиной скачка функции f(x) в точке х₀.

Б. Если хотя бы один из пределов бесконечен или не существует, то говорят, что в точке х₀ функция f(x) имеет разрыв второго рода.

Виды графика функции f(x) в окрестности точки х₀ в этом случае гораздо разнообразнее. Некоторые возможные варианты приведены ниже.

Свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции

Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀. Тогда функция f(x) не равная g(x), f(x)g(x) и (если g(x) не равно 0) непрерывны в точке x0.

Доказательство.

Пусть f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀. Это значит, что . Но тогда, по свойствам пределов

Последнее свойство верно, если . <

Пусть y=f(x), но x, в свою очередь, является функцией некоторого аргумента t: x=j(t). Тогда комбинация y=f(j(t)) называется сложной функцией, или суперпозицией функции j(t).

Примеры:

а) y=sin(x), x=e^t => y=sin(e^t)

б) y= e^x , x=sin(t) => y= e^sin(t)

 

Теорема о непрерывности сложной функции.

Пусть функция j(t) непрерывна в точке t₀ и функция f(x) непрерывна в точке х₀=j(t₀). Тогда функция f(j(t)) непрерывна в точке t₀.

Доказательство.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем

Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что

,

что и говорит о том, что f(j(t)) непрерывна в точке t₀. <

Обратите внимание на следующие детали:

а) т.к. x=j(t), то |j(t)-j(t₀)|<d может быть записано как |x-x₀|<d, и f(x) превращается в F(j(t));

б) при определении непрерывности j(t) в точке t₀ в первом кванторе стоит буква d. Это необходимо для согласования с квантором в предыдущей строке и взаимного уничтожения . Любая другая буква на этом месте не дала бы верного результата.

Непрерывность элементарных функций

Разумеется, имеется бесконечно много разных функций. Однако среди них выделяется класс элементарных функций. К ним относятся:

а) степенная функция у=xⁿ;

б) показательная функция у=a^x;

в) логарифмическая функция у=log_a(x);

г) гиперболические функции sh(x), ch(x), th(x);

д) тригонометрические функции sin(x), cos(x), tg(x);

е) обратные тригонометрические функции arc sin(x), arc cos(x), arc tg(x).

Всевозможные суперпозиции этих функций также называются элементарными.

Далее небольшой обзор свойств этих функций, особо обращая внимание на их непрерывность.

Степенная функция.

Функция y=x^m, где m – произвольное вещественное число, называется степенной функцией. В общем случае считается, что она определена для x>0, хотя при некоторых частных значениях m (например, когда m - целое число) она имеет смысл и при x<0.

Графики этой функции имеют различный вид при разных m.

а) 0<m<1

В этом случае y=x^m определена для x³ 0. Она является строго монотонно возрастающей функцией и непрерывна для всех x³ 0.

б) m>1

В этом случае y=x^m определена для x³ 0. Она является строго монотонно возрастающей функцией и непрерывна для всех x³ 0.

б) m<0

В этом случае y=x^m определена для всех x>0 и . Она является строго монотонно убывающей функцией и непрерывна для всех x>0.

Показательная функция.

Функция y=a^x называется показательной функцией. Число a является произвольным положительным вещественным числом, т.е. a>0. Функция определена и непрерывна для всех вещественных х. Ее графики имеют различный вид в зависимости от значения а.

При a>1 y=a^x строго монотонно возрастает.

При 0<a<1 y=a^x строго монотонно убывает.

Математики особенно "любят" функцию y=e^x, т.е. показательную функцию при а=е. Ее называют экспоненциальной функцией, или просто экспонентой.

Основным свойством показательной функции является следующее свойство:

Можно показать, что среди непрерывных функций показательная функция – единственная функция, удовлетворяющая свойству f(x₁+x₂)=f(x₁)f(x₂).

Следствием этого свойства является следующее: (a^x)^m=a^xm

Гиперболические функции.

С функцией e^x тесно связаны функции, получившие название гиперболических. К ним относятся:

гиперболический синус

гиперболический косинус

гиперболический тангенс

Рассмотрим коротко свойства этих функций.

Область определения этих функций -Ґ<x<+Ґ

sh(-x)= –sh(x)

th(-x)= –th(x)

ch(-x)= ch(x)

т.е. sh(x) и th(x) являются нечетными функциями, а ch(x) – четной функцией. Графики их изображены на рисунках.

sh(h), ch(x), и th(x) непрерывны для всех х.

sh(x) и th(x) монотонно возрастают.

Выведем основные формулы, касающиеся этих функций, и очень напоминающие формулы тригонометрии.

а) ch²(x)-sh²(x)=1

Действительно,

б)

Вывод этой формулы надо вести с правой части. Имеем:

в)

Аналогично имеем:

Можно вывести и много других формул, аналогичных формулам геометрии.

Логарифмическая функция.

Функция, обратная a^x, называется логарифмической функцией, и обозначается log_ax. Ее свойства получаются как следствия свойств функции a^x.

а)

Так как. значения a^xО(0; +Ґ), то log_ax определена для 0<x<+Ґ.

Так как a^x строго монотонно возрастает, то log_ax тоже строго монотонно возрастает.

Так как a^x строго непрерывна, то и log_ax тоже непрерывна.

log_ex называется натуральным логарифмом и обозначается ln(x).

б)

log _ax определена для 0<x<+Ґ.

log _ax строго монотонно убывает.

log _ax непрерывна.

Основное свойство логарифмической функции имеет вид:

Можно показать, что log_ax – единственная непрерывная функция, удовлетворяющая свойству .

Другие важные формулы, касающиеся логарифмической функции

а)

б)

Тригонометрические функции.

Т.к. эти функции подробно изучаются в школе, то напоминать их свойства мы не будем. Укажем лишь, что sinus(x) и cos(x) непрерывны для всех x, а имеет разрывы второго рода в точках, где cos(x)=0, т.е. в точках

Обратные тригонометрические функции.

arc sin(x)

Рассмотрим график функции у=sin(x) и на этом графике рассмотрим лишь участок .

Функция, обратная к sin(x), только на этом участке называется главной ветвью arcsin x. Именно ее мы и будем изучать.

Так как –1 £ sin x £ +1, то arcsinx определен для –1 £ x £ +1.

Так как на выделенном участке sin x строго монотонно возрастает, то arcsin x тоже строго монотонно возрастает.

Так как sin x непрерывна, то и arcsin x тоже непрерывна.

arc cos(x)

Выделим на графике функции у=cos(x) участок 0£ x £ p. Функцию, обратную к cos x именно на этом участке будем называть главной ветвью arc cos x и именно ее будем изучать и использовать.

Так как –1 £ cos x £ +1, то arccos x определен для –1 £ x £ +1.

Так как на выделенном участке cos x строго монотонно убывает, то arccos x тоже строго монотонно убывает.

Так как на выделенном участке cos x непрерывна, то arccos x тоже непрерывна.

arc tg(x)

На графике функции у=tg(x) выделим лишь участок . Функцию, обратную к tg x именно на этом участке будем называть главной ветвью arctg x.

arctg x определен для – Ґ < x < + Ґ.

Так как на выделенном участке tg x строго монотонно возрастает, то arctg x тоже строго монотонно возрастает.

Так как на выделенном участке tg x непрерывна, то и arctg x тоже непрерывна.

arctg(-x)=-arctg(x)