- •Аннотация
- •Методические указания для студентов
- •Глава 1. Уравнение прямой и кривые второго порядка на плоскости
- •Блок самопроверки:
- •Список литературы:
- •Глава 2. Понятие вектора и операции над векторами
- •Блок самопроверки:
- •Список литературы:
- •Глава 3. Уравнения прямой и плоскости, поверхности второго порядка в пространстве
- •Блок самопроверки:
- •Список литературы:
- •Глава 4. Матрицы и операции над ними. Определитель и ранг матрицы, их свойства
- •Блок самопроверки:
- •Список литературы:
- •Глава 5. Системы линейных уравнений, способы их решения
- •Блок самопроверки:
- •Список литературы:
- •Глава 6. Теория пределов, непрерывные функции, разрывы
- •Часть 1. Пусть ограниченны сверху, т.Е. Такое, что . Тогда, согласно теореме о существовании супремума мы можем утверждать, что .
- •Часть 2. Пусть теперь неограниченна сверху. Это значит, что .
- •Блок самопроверки:
- •Список литературы:
- •Глава 7. Производная, порядок и свойства производной, исследование функций
- •Блок самопроверки
- •Список литературы
- •Глава 8. Интеграл, его свойства, вычисление площадей и объемов фигур
- •Блок самопроверки
- •Список литературы
- •Глава 9. Ряды, виды рядов, сходимость рядов
- •Блок самопроверки
- •Список литературы
- •Глава 10. Дифференциальные уравнения, их виды и решение
- •Блок самопроверки
- •Список литературы
- •Глава 11. Комбинаторика. События, действия с ними, вероятность, виды, основные теоремы и формулы
- •Блок самопроверки
- •Список литературы
- •Глава 12. Случайные величины, их виды, законы и функции распределения. Закон больших чисел
- •Блок самопроверки
- •Список литературы
- •Глава 13. Математические модели видов и процессов в системе социальной работы
- •Блок самопроверки
- •Список литературы
- •Глава 14. Математические методы исследования в социальной работе
- •Блок самопроверки
- •Список литературы
- •Глоссарий
Блок самопроверки:
Пример 1
. Единственным решением является пара чисел х = 1, у = 2.
Пример 2.
. Решением этой системы будут любые два числа х и у, удовлетворяющие условию у = 3 – х. Например, х=1, у=2; х=0, у=3 и т. д.
Пример 3.
. Очевидно, что эта система не имеет решений, так как разность двух чисел не может принимать двух различных значений.
Пример 4.
Решим методом Гаусса систему
Вычтем из второго уравнения удвоенное первое, а из третьего – первое, умноженное на 5.
Получим: . Теперь вычтем из третьего уравнения удвоенное второе, а затем разделим второе уравнение на –7 (коэффициент при у), а третье – на 15 (новый коэффициент при z). Система примет вид:
. Отсюда z=3, y=2, x=1 – единственное решение системы.
Пример 5.
Система после исключения х из второго и третьего уравнений примет вид: . Если затем вычесть второе уравнение из третьего, то последнее уравнение станет тождеством 0=0. В системе осталось два уравнения: . Ее решение можно записать в виде: х = -2, у – любое число, z = 7 – y. Таким образом, система имеет бесконечно много решений.
Пример 6.
. Применив к этой системе метод Гаусса, получим ,
откуда . Последнее равенство является неверным при любых значениях неизвестных, следовательно, система не имеет решения.
Пример 7.
Рассмотрим систему , решенную в предыдущем разделе методом Гаусса, и применим к ней правило Крамера. Найдем все нужные определители:
следовательно, система имеет единственное решение.
Отсюда
Пример 8.
. Здесь поскольку имеет два одинаковых столбца.
Следовательно, система не имеет единственного решения. Найдем и
поэтому система имеет бесконечно много решений.
Пример 9.
. Для этой системы но
следовательно, решений нет.
Пример 10.
Найдем матрицу, обратную к
следовательно, матрица А невырожденная. Найдем алгебраические дополнения к ее элементам:
Не забудем, что алгебраические дополнения к элементам строки матрицы А образуют в обратной матрице столбец с тем же номером. Итак, Можно убедиться, что найденная матрица действительно удовлетворяет определению Найдем
Тот же результат получим и при перемножении в обратном порядке.
Пример 11.
Вернемся к системе
Для нее
Найдем :
Следовательно,
Таким образом, х = 1, у = 2, z = 3.
Список литературы:
Балдин, К.В. Краткий курс высшей математики / К.В.Балдин, Ф.К.Балдин, В.И.Джеффаль – М.: Дашков и Ко, 2009 (электронный ресурс «Университетская библиотека»);
Малыхин, В.И. Высшая математика: Учебное пособие / В.И.Малыхин – М.: Инфра-М, 2009 (электронный ресурс «Университетская библиотека»);
Самарин, Ю.П. Высшая математика / Ю.П.Самарин, Г.А.Сахабиева, В.А.Сахабиев – М.: Машиностроение, 2006 (электронный ресурс «Университетская библиотека»).
Глава 6. Теория пределов, непрерывные функции, разрывы
Определение предела последовательности
Определение 1. Последовательностью называется упорядоченное счетное множество чисел .
Обратите внимание, что
а) всего чисел - счетное множество и
б) они расположены в определенном порядке.
Над последовательностями можно проделывать некоторые операции.
а) Умножение последовательности на число.
Пусть дана последовательность и число c. Тогда произведением последовательности на число c называется последовательность вида .
б) Сложение и вычитание последовательности.
Пусть даны две последовательности и . Суммой и называется последовательность вида
+ = .
Разностью - последовательность видa
- = .
в) Умножение и деление последовательностей.
Произведение последовательностей
= .
Частное последовательностей
.
Определение 2. Последовательность называется ограниченной сверху, если
ограниченной снизу, если ;
ограниченной, если ;<
(последнее часто пишут так ).
Определение 3. Говорят, что при n стремящемся к бесконечности, последовательность сходится к пределу a (запись или ) если
Число а называют пределом последовательности .
В понятии “последовательность” впервые в математике нашло свое отражение движение. До введения этого понятия математика изучала лишь статитические объекты - площадь треугольника, 2x2 = 4 и т.д., и только в последовательности впервые находит свое отражение движение. Действительно, пусть - это моя координата на оси в какой-то - й момент времени. Тогда, идя по последовательности, я двигаюсь по оси - сначала я нахожусь в точке , затем перехожу в точку , затем в точку и т.д..
Конечно, движение бывает различным. Понятие предела отражает один из типов этого движения. Посмотрим еще раз на определение понятия предела, записав его в виде .
Вокруг точки a взята произвольная - окрестность . Сначала движение может быть произвольным, но вот на - м шаге последовательность попадает в эту - окрестность и все последующее движение происходит в этой - окрестности, т.е. попав на - м шаге в окрестность точки a, последовательность навсегда остается в этой окрестности. Так как сколь угодно мала, то это означает, что в своем движении мы неограниченно близко приближаемся к точке a и уже не можем уйти от нее. Понятие предела и отражает именно такой тип движения.
Дадим еще несколько похожих определений.
Определение 4. Говорят, что при последовательность сходится к пределу, равному (запись: или ) если
.
Это означает, что какое бы большое число мы не взяли, при своем движении на каком - то шаге мы окажемся правее точки и при дальнейшем движении всегда будем находиться правее этой точки.
Определение 5. Говорят, что при последовательность сходится к пределу, равному (запись: или если
.
Бесконечно-малые и бесконечно-большие последовательности
Определение 1. Последовательность называется бесконечно-малой последовательностью, если , т.е. если
.
Определение 2. Последовательность называется бесконечно-большой последовательностью, если (это записывается еще и так: , не учитывая знака перед ), т.е. если
.
Изучим некоторые свойства этих последовательностей.
10. Сумма и разность бесконечно-малых последовательностей есть также бесконечно-малая последовательность.
Доказательство:
- б.м.п. =>
- б.м.п. =>
Возьмем . Тогда
откуда следует, что есть б.м.п.
Следствие. Сумма любого конечного числа б.м.п. ест также б.м.п
20. Произведение б.м.п на ограниченную последовательность есть б.м.п.
Доказательство:
- ограничена. =>
- б.м.п. =>
.
Но тогда
отсюда и следует, что есть б.м.п.
3. Б.м.п. ограничена
Доказательство:
Пусть - б.м.п. Тогда .
Возьмем .
Тогда т.е. ограничена.
Следствие. Произведение б.м.п. есть также б.м.п.
4. Пусть - б.м.п. и . Тогда есть б.б.п.
Доказательство:
- б.м.п => .
Возьмем любое и положим .
Тогда
отсюда следует, что есть б.б.п.
5. Пусть - б.б..п, тогда есть б.м.п.
- б.б.п => .
Возьмем любое и положим
Тогда
отсюда следует, что есть б.м.п.
Предел монотонной последовательности
Определение. Последовательность называется
- монотонно возрастающей (неубывающей), если ;
- строго монотонно возрастающей (неубывающей), если ;
- монотонно убывающей (невозрастающей), если ;
- строго монотонно убывающей (невозрастающей), если ;
Монотонно возрастающие последовательности обозначают символом , монотонно убывающие - символом .
Теорема:
1. Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она сходится к конечному пределу;
2. Если последовательность монотонно возрастает, но неограниченна сверху, то .
Доказательство.