8. Построение точки по координатам на плоскости.

9. Уравнение прямой. Формула для двойного отношения.

Пусть на проективной плоскости даны две точки A и B, имеющие в проективном репере R координаты A(a₁, a₂, a₃), B(b₁, b₂, b₃). Требуется составить уравнение прямой AB.

Пусть M – произвольная точка прямой AB . Ее координаты совпадают с координатами вектора x;\s\up8(( на прямой OM. Координаты точек A и B также совпадают с координатами некоторых векторов a;\s\up8(–( и b;\s\up9(–( на прямых OA и OB. Значит, векторы x;\s\up8((, a;\s\up8(( и

b;\s\up9(( компланарны. И обратно, если x;\s\up8(( компланарен a;\s\up8(( и b;\s\up9((, то M l . Поэтому M AB 

x₁ x₂ x₃

a₁ a₂ a₃ = 0,

b₁ b₂ b₃

Это и есть уравнение прямой AB.

После раскрытия определителя получим уравнение вида

u₁x₁ + u₂x₂ + u₃x₃ = 0.

Ч исла u₁, u₂, u₃ называются координатами прямой. Кроме того, условие коллинеарности векторов x;\s\up8((, a;\s\up8((, b;\s\up9(( можно записать так: x;\s\up8(( = a;\s\up8(( + b;\s\up9((

x₁ = a₁ + b₁,

x₂ = a₂ + b₂,

x₃ = a₃ + b₃,

где ,  R – произвольные параметры (² + ²  0). Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Пусть точки A, B, C, D лежат на одной прямой a; ¯ и имеют в репере R координаты A(a₁, a₂), B(b₁, b₂), C(c₁, c₂), D(d₁, d₂). Требуется найти (ABCD).

Найдем (ABCD) в частном случае, когда R = {A_1 , A₂, E}. Тогда a₁/a₂ = a, b₁/b₂ = b, c₁/c₂ = c, d₁/d₂ = d, где a, b, c, d – обычные координаты на прямой. Поэтому

Координаты точки Ma; ¯ в двух реперах R = {A₁, A₂, E} и R = {A₁, A₂ , E} на a; ¯ связаны между собой формулами

x₁ = c₁₁x₁ + c₁₂ x₂ ,

x₂ = c₂₁x₁ + c₂₂ x₂ .

Пусть на плоскости (; ¯ даны: проективная система координат R = {A₁, A₂, A₃, E}, прямая a; ¯ и на ней 4 точки A(a₁, a₂, a₃), B(b₁, b₂, b₃), C(c₁, c₂, c₃), D(d₁, d₂, d₃). Требуется найти (ABCD). Для этого нам потребуется следующая теорема.

Сложное отношение сохраняется при центральном проецировании.

Значит,

Вместо a₁, a₂ можно брать a₂, a₃ или a₁, a₃ ; это касается и координат других точек.

Теорема Сложное отношение сохраняется при любом проективном преобразовании плоскости.

Пусть f – проективное преобразование плоскости (; ¯, которое задается реперами R и R  (ABCD) = (AB C D) .

Пусть в плоскости (; ¯ даны 4 точки A(a₁, a₂, a₃), B(b₁, b₂, b₃), C(c₁, c₂, c₃), D(d₁, d₂, d₃), лежащие на одной прямой. Тогда

c_i = ₁a_i + ₁b_i , d_i = ₂a_i + ₂b_i , i = 1, 2, 3,

(ABCD) = :

Теорема Если A, B, C, D a; ¯ и точка D в репере R = {A, B, C} имеет координаты u₁ , u₂ , то (ABCD) = u₁/u₂ .

A(1, 0), B(0,1), C(1, 1), D(u₁, u₂)  ₁= ₁ =1, ₂= u₁, ₂= u₂  (ABCD) = u₁/u₂ .

Проективные координаты не зависят от выбора точки O