10. Общее уравнение прямой. Принцип двойственности.

Пусть на проективной плоскости даны две точки A и B, имеющие в проективном репере R координаты A(a₁, a₂, a₃), B(b₁, b₂, b₃). Требуется составить уравнение прямой AB.

Пусть M – произвольная точка прямой AB . Ее координаты совпадают с координатами вектора x;\s\up8(( на прямой OM. Координаты точек A и B также совпадают с координатами некоторых векторов a;\s\up8(–( и b;\s\up9(–( на прямых OA и OB. Значит, векторы x;\s\up8((, a;\s\up8(( и

b;\s\up9(( компланарны. И обратно, если x;\s\up8(( компланарен a;\s\up8(( и b;\s\up9((, то M l . Поэтому M AB 

x₁ x₂ x₃

a₁ a₂ a₃ = 0,

b₁ b₂ b₃

Это и есть уравнение прямой AB.

После раскрытия определителя получим уравнение вида

u₁x₁ + u₂x₂ + u₃x₃ = 0.

Ч исла u₁, u₂, u₃ называются координатами прямой. Кроме того, условие коллинеарности векторов x;\s\up8((, a;\s\up8((, b;\s\up9(( можно записать так: x;\s\up8(( = a;\s\up8(( + b;\s\up9((

x₁ = a₁ + b₁,

x₂ = a₂ + b₂,

x₃ = a₃ + b₃,

где ,  R – произвольные параметры (² + ²  0). Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Легко заметить, что свойства принадлежности на проективной плоскости обладают своеобразной симметрией.

Симметрия наблюдается и относительно других свойств. Таким образом, имеет место следующий принцип двойственности.

Каждому утверждению на проективной плоскости относительно точек и прямых соответствует второе утверждение, которое получается из первого заменой слова «точка» на слово «прямая», а слова «прямая» на слово «точка». Второе утверждение называется двойственным первому и, если истинно первое утверждение, то и истинно и двойственное ему.

В соответствии с этим принципом каждой фигуре также соответствует двойственная фигура. Примеры:

фигуре «прямая и три точки на ней» соответствует фигура «точка и три прямые, проходящие через нее»;

2. фигуре «три точки, не лежащие на одной прямой, и три прямые, которые проходят через эти точки» (она называется трехвершинником) соответствует двойственная ей фигура «три прямые, не проходящие через одну точку, и три точки их пересечения» (она называется трехсторонником). Ясно, что это одна и та же фигура.

11. Теорема Дезарга.

Трехвершинником на плоскости (; ¯ называется фигура, которая состоит из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех прямых, которые проходят через эти точки. Точки называются вершинами, а прямые – сторонами трехвершинника.

Пусть ABC и A B C  – два трехвершинника. Будем называть соответственными вершины A и A , B и B , C и C , а также стороны a = BC и a = B C , b = AC и b = A C  , c = AB и c = A B .

Теорема Дезарга. Если соответственные стороны трехвершинников ABC и A B C  пересекаются в точках M, N, P, лежащих на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины, сходятся в одной точке.

Обратная теорема Дезарга. Если прямые, соединяющие соответственные вершины трехвершинников ABC и A B C , сходятся в одной точке, то соответственные стороны этих трехвершинников пересекаются в точках, лежащих на одной прямой.

Эти теоремы двойственные друг другу. Согласно принципу двойственности достаточно доказать одну из них, и тогда другая тоже будет верна.