12. Проективные отображения.

Опр.3.1.1. Пусть (; ¯ и (; ¯ – две проективные плоскости, R – проективный репер в (; ¯, R  – в (; ¯. Проективным отображением (; ¯ на (; ¯ назы-вается отображение, действующее по правилу: точка M(; ¯ c координатами (x₁, x₂, x₃) в репере R переходит в точку M (; ¯ с теми же координатами в репере R .

Отсюда, в частности, вытекает, что A₁ переходит в A₁ , A₂ – в A₂ , A₃ – в A₃ , E – в E, т.е R переходит в R .

Можно показать, что проективным отображением будет перспективное отображение (; ¯ на (; ¯, которое возникает при центральном проецировании (; ¯ на (; ¯, а также любая композиция перспективных отображений плоскости на плоскость.

Опр.3.1.2. Проективным преобразованием плоскости (; ¯ называется проективное отображение (; ¯ на себя. Оно задается двумя реперами R и R  в плоскости (; ¯ .

Движение, подобие и аффинное преобразование плоскости (; ¯ являются частными случаями проективных преобразований.

Формулы проективного преобразования.

Пусть f : (; ¯  (; ¯ – проективное преобразование, которое задается двумя реперами R и R  , а С – матрица перехода от первого репера ко второму. Пусть M  = f(M). Найдем связь между координатами M и M  в одном репере, например, в R . Пусть M(x₁, x₂, x₃)_R , тогда M  имеет такие же координаты, только относительно R  . Пусть M (x₁, x₂ , x₃ )_R .

 x_i = (;\s\do10(k =1c_ik x_k , i = 1, 2, 3.

Еще раз подчеркнем, что здесь x_k – это координаты точки до преобразования, а x_i – координаты образа этой точки.

Основное свойство проективных преобразований.

Теорема 3.3.1. При проективном преобразовании плоскости прямая переходит в прямую.

Пусть преобразование задано реперами R и R  , а прямая a; ¯ имеет уравнение относительно R : u₁x₁+ u₂x₂ + u₃x₃ = 0. Образ этой прямой будет удовлетворять такому же уравнению относительно R  , а значит, это тоже будет прямая.

Гомологией называется нетождественное проективное преобразование плоскости, имеющее точечно неподвижную (инвариант-ную) прямую, называемую осью гомологии.

Свойства гомологии.

1. Прямая, проходящая через две несовпадающие соответственные точки, преобразуется в себя (является неподвижной).

2. Прямые, проходящие через несовпадающие соответственные точки (не принадлежащие одной прямой), проходят через одну неподвижную (инвариантную) точку, называемую центром гомологии.

3. Прямая, не проходящая через центр гомологии, и ее образ пересекаются на оси гомологии.

13. Полный четырехвершинник.

Полным четырехвершинником называется фигура, которая состоит из четырех точек расширенной плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и шести прямых, которые про-ходят через все пары этих точек. Точки называются вершинами, а прямые – сторонами четырехвершинника.

Стороны, которые не имеют общих вершин называются противоположными.

Точки A, B, C пересечения противоположных сторон называются диагональными точками, а прямые, которые проходят через пары этих точек называются диагоналями (AB, AC, BC).

Теорема На каждой диагонали есть гармоническая четверка точек, состоящая из двух диагональных точек и двух точек пересечения этой диагонали со сторонами, которые проходят через третью диагональную точку.