1. Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств. Некоторые свойства их свойства.

Определение. Множество L элементов x, y, z… называется линейным пространством, если выполнены три следующих условия:

1. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам x и y из множества L ставится в соответствие третий элемент z этого множества, называемый суммой элементов x и y и обозначаемый символом z=x+y.

2. Имеется правило, посредством которого любому элементу x из множества L и любому вещественному числу λ ставится в соответствие элемент u этого множества, называемый умножение элемента x на число λ и обозначаемый символом u=λx или u=xλ.

3. указанные два правила починены следующим восьми аксиомам.

1. x+y=y+x (переместительное свойство суммы)

2. x+(y+z)=(x+y)+z (сочетательное свойство суммы)

3. существует нулевой элемент 0 такой, что x+0=x для любого элемента x (особая роль нулевого элемента)

4. для каждого элемента x существует противоположный элемент x^’ такой, что x+x^’=0

5. 1*x=x для любого элемента x (особая роль числового множителя 1)

6. λ(μx)=(λμ)x (сочетательное относительно числового множителя свойство)

7. (λ+μ)x=λx+μx (распределительное относительно суммы числовых множителей свойство)

8. λ(x+y)=λx+λy (распределительное относительно суммы элементов свойство)

Элементы линейного пространства называются векторами.

Примеры линейных пространств:

1. Множество всех свободных векторов в трехмерном пространстве (B₃), а также множество векторов на плоскости и на прямой (B₂ и B₁). (Операции суммы и умножения элемента на число определяется как в аналитической геометрии)

2. Множество {x} всех положительных вещественных чисел. (Операция суммы произведение вещественных чисел, операция умножения на число возведение в степень вещественного числа, нулевой элемент число 1, а противоположный 1/x)

3. Множество Aⁿ (элементами служат упорядоченные совокупности n произвольных вещественных чисел (x₁, x₂…x_n))

4. Множество C[a,b] всех функций x=x(t), определенный и непрерывных на сегменте a≤t≤b. (Операции суммы и умножения на число определяются как в математическом анализе)

5. Множество {P_n(t)} всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа n (Операции суммы и умножения на число определяются как и в прошлом примере)

6. Множество матриц M_mxn фиксированного размера

7. Нулевой элемент

8. Множество решений однородной (приведенной) системы линейных уравнений

Не являются линейными пространствами:

1. Множество всех векторов пространства с исключением векторов, коллинеарных некоторой прямой l (ибо в пределах этого множества нельзя складывать векторы, симметричные относительно указанной прямой l)

2. Множество всех многочленов степени, точно равной натуральному числу n (сумма двух таких многочленов может оказаться многочленом степени ниже n)

3. Множество всех многочленов степени, не превышающей натурального n, все коэффициенты которых положительны (элементы такого множества нельзя умножить на отрицательные вещественные числа)

Свойства линейных пространств:

1. В каждом линейном пространстве имеется только один нулевой элемент.

2. Для любого элемента xєL найдется только один противоположный ему элемент y=-x.

3. Произведение любого элемента xєL на число α=0 равно нулевому элементу.

4. Произведение любого элемента xєL на число (-1) равно элементу противоположному к x.

5. Произведение нулевого элемента на любое число α есть нулевой элемент.

6. Для любых элементов a,bєL существует разность, притом, только одна x=b+(-1)a.