10. Вещественное евклидово пространство, примеры. Неравенство Коши-Буняковского.

Определение. Вещественное линейной пространство L называется вещественным евклидовым пространством (или просто евклидовым пространством), если выполнены следующие два требования:

1. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства x и y ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом (x,y)

2. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:

1. (x,y)=(y,x) (переместительное свойство или симметрия)

2. (x₁+x₂,y)=(x₁,y)+(x₂,y) (распределительное свойство)

3. (λx,y)=λ(x,y) для любого вещественного λ

4. (x,x)>0, если x – ненулевой элемент; (x,x)=0, если x – нулевой элемент.

Евклидово пространство называется конкретным, если природа изучаемых объектов и вид перечисленных правил указаны.

Примеры.

1. Линейно пространство B₃ всех свободных векторов (скалярное произведение определено как в аналитической геометрии)

2. Бесконечномерное линейное пространство C[a,b] всех функций x=x(t), определенныx и непрерывных на сегменте a≤t≤b (скалярное произведение двух функций x(t) и y(t) определим как интеграл (в пределах от a до b) от произведений этих функций)

3. N-мерное линейное пространство Aⁿ упорядоченных совокупностей n произвольных вещественных чисел (скалярное произведение двух любых элементов x=(x₁, x₂,…, x_n) и y=(y₁, y₂,…, y_n) определяется равенством (x,y)=(x₁y₁+…+x_ny_n)

(Квадратичная форма Ʃⁿ_i=1Ʃⁿ_k=1α_ikx_ix_k называется положительно определенной, если она принимает строго положительные значения для всех значений переменных x₁, x₂,…, x_n одновременно не равных нулю)

Теорема. Для любых двух элементов x и y произвольного евклидова пространства справедливо неравенство (x,y)²≤(x,x)(y,y) называемое неравенством Коши-Буняковского.

Доказательство.

Для любого вещественного числа λ, в силу аксиомы 4скалярного произведения, справедливо неравенство (λx-y, λx-y)≥0. В силу аксиом 1-3 последнее неравенство можно переписать в виде λ²(x,x)-2λ(x,y)+(y,y)≥0. Необходимым и достаточным условием неотрицательности последнего квадратного трехчлена является неположительность его дискриминанта, то есть неравенство (x,y)²-(x,x)(y,y)≤0. Из этого неравенства сразу вытекает неравенство (x,y)²≤(x,x)(y,y). Теорема доказана.

11. Нормированное линейное пространство. Норма в евклидовом пространстве. Угол между элементами линейного пространства. Ортогональные элементы. Теорема Пифагора.

Определение. Линейное пространство L называется нормированным, если выполнены следующие два требования:

1. Имеется правило, посредством которого каждому элементу x пространства L ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой (или длинной) указанного элемента и обозначаемое символом ||x||.

2. Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам:

1. ||x||>0, если x – ненулевой элемент; ||x||=0, если x – нулевой элемент

2. ||λx||=|λ|||x|| для любого элемента x и любого вещественного числа λ

3. Для любых двух элементов x и y справедливо следующее неравенство ||x+y||≤||x||+||y|| называемое неравенством треугольника (или неравенство Минковского)

Теорема. Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента x определить равенством ||x||=(x,x)^1/2

Доказательство.

Достаточно доказать, что для нормы, определенной соотношением ||x||=(x,x)^1/2 справедливы аксиомы 1-3 из определения нормированного пространства. Справедливость для нормы аксиомы 1 сразу вытекает из аксиомы 4 скалярного произведения. Справедливость для нормы аксиомы 2 почти непосредственно вытекает из аксиом 1 и 3 скалярного произведения. Остается убедиться в справедливости для нормы аксиомы 3, то есть неравенства ||x+y||≤||x||+||y||. Будем опираться на неравенство Коши-Буняковского (x,y)²≤(x,x)(y,y), которое перепишем в виде |(x,y)|≤(x,x)^1/2(y,y)^1/2. С помощью последнего неравенства, аксиом 1-4 скалярного произведения и определения нормы получим ||x+y||=(x+y,x+y)^1/2=((x,x)+2(x,y)+(y,y))^1/2≤((x,x)+(x,x)^1/2(y,y)^1/2+(y,y))^1/2=([(x,x)^1/2+(y,y)^1/2]²)^1/2=(x,x)^1/2+(y,y)^1/2=||x||+||y||. Теорема доказана.

Следствие. Во всяком евклидовом пространстве с нормой элементов, определяемой соотношением ||x||=(x,x)^1/2, для любых двух элементов x и y справедливо неравенство треугольника ||x+y||≤||x||+||y||.

В любом вещественном евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между двумя произвольными элементами x и y этого пространства. Угол ϕ между элементами x и y тот (изменяющийся от 0 до π) угол, косинус которого определяется соотношение cosϕ=(x,y)/||x||||y||=(x,y)/(x,x)^1/2(y,y)^1/2 (данное определение угла корректно, ибо в силу неравенства Коши-Буняковского дробь, стоящая в правой части последнего равенства, по модулю не превосходит единицу).

Определение. Два произвольных элемента x и y евклидова пространства E называются ортогональными, если скалярное произведение этих элементов (x,y) равно нулю ( в этом случае косинус угла ϕ между элементами x и y будет равен нулю).

Назовем сумму x+y двух ортогональных элементов x и y гипотенузой прямоугольного треугольника, построенного на элементах x и y.

Во всяком евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Поскольку x и y ортогональны и (x,y)=0, то в силу аксиом и определения нормы ||x+y||²=(x+y,x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y)=(x,x)+(y,y)=||x||²+||y||².

Запишем норму, неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника для конкретных евклидовых пространств.

1. В евклидовом пространстве всех свободных векторов с обычным определением скалярного произведения норма вектора a совпадает с его длиной |a|, неравенство Коши-Буняковского приводится к виду (a,b)²≤|a|²|b|², а неравенство треугольника – к виду |a+b|≤|a|+|b|

2. В евклидовом пространстве C[a,b] всех функций x=x(t), определенныx и непрерывных на сегменте a≤t≤b со скалярным произведением, определенным как интеграл (в пределах от a до b) от произведений функций x(t) и y(t), норма элемента x=x(t) равна (∫^b_ax²(t)dt)^1/2, а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют виду [∫^b_ax(t)y(t)dt]²≤∫^b_ax²(t)dt∫^b_ay²(t)dt, (∫^b_a[x(t)+y(t)]²)^1/2≤(∫^b_ax²(t)dt)^1/2+(∫^b_ay²(t)dt)^1/2

3. В евклидовом пространстве Eⁿ упорядоченных совокупностей n вещественных чисел со скалярным произведением (x,y)=(x₁y₁+…+x_ny_n) норма любого элемента x=(x₁, x₂,…, x_n) равна ||x||=(x²₁+x²₂+…+x²_n)^1/2, а неравенство Коши-Буняковского и треугольника имеют вид (x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n)≤( x²₁+x²₂+…+x²_n)( y²₁+y²₂+…+y²_n, [(x₁+y₁)²+…+(x_n+y_n)²]^1/2≤( x²₁+x²₂+…+x²_n)^1/2+( y²₁+y²₂+…+y²_n)^1/2.