15. Теорема об изоморфизме евклидовых пространств.

Определение. Два евклидовых пространства E и E^’ называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если элементам x и y пространства E отвечают соответственно элементы x^’ и y^’ пространства E^’, то элементу x+y отвечает элемент x^’+y^’, элементу λx (при любом вещественном λ) отвечает элемент λx^’ и скалярное произведение (x,y) равно скалярному произведению (x^’,y^’).

Теорема. Все евклидовы пространства одной и той же размерности n изоморфны между собой.

Доказательство.

Достаточно доказать, что любое n-мерное евклидово пространство E^’ изоморфно евклидову пространство Eⁿ упорядоченных совокупностей n вещественных чисел со скалярным произведением (x,y)=(x₁y₁+…+x_ny_n). Согласно теореме о существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве в евклидовом пространстве E^’ существует ортонормированный базис e^’₁,…, e^’_n. Каждому элементу x^’=x₁e^’₁+…+x_ne^’_n пространства E^’ ставим в соответствие n вещественных чисел x₁, x₂,…, x_n, тое сть вполне определенный элемент x=(x₁, x₂,…, x_n) пространства Eⁿ.

Установленное соответствие будет взаимно однозначным. Кроме того, из теоремы о сложении и умножении координат любого элемента линейного пространства, вытекает, что если элементам x^’=(x₁, x₂,…, x_n) и y^’=(y₁, y₂,…, y_n) пространства E^’ отвечают соответственно элементы x=(x₁, x₂,…, x_n) и y=(y₁, y₂,…, y_n) пространства Eⁿ, то элементу x^’+y^’ отвечает элемент x+y, а элементу λx^’ отвечает элемент λx.

Остается доказать, что для соответствующих пар элементов x^’, y^’ и x, y сохраняется величина скалярного произведения. В силу ортонормированности базиса e^’₁,…, e^’_n и формулы (x,y)=(x₁y₁+…+x_ny_n) (x^’,y^’)=(x₁y₁+…+x_ny_n). С другой стороны в силу формулы (x,y)=(x₁y₁+…+x_ny_n), определяющей скалярное произведение в пространстве Eⁿ (x,y)=(x₁y₁+…+x_ny_n). Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что если справедлива теорема для какого-то первого евклидова пространства размерности n, то она верна и для всех других пространств той же размерности.

16. Комплексное евклидово пространство. Следствия из аксиом. Неравенство Коши-Буняковского. Норма. Скалярное произведение.

Определение. Комплексное линейное пространство R комплексным евклидовым пространством, если выполнены следующие два требования:

1. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства x и y ставится в соответствие комплексное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом (x,y)

2. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:

1. ( x,y)=(y,x) (переместительное свойство или симметрия) ((y,x) число комплексно сопряженное с (y,x))

2. (x₁+x₂,y)=(x₁,y)+(x₂,y) (распределительное свойство)

3. (λx,y)=λ(x,y) для любого вещественного λ

4. (x,x) представляет собой вещественное неотрицательное число, обращающееся в нуль лишь в случае, когда x – нулевой элемент.

С ледствия.

1. ( x,λy)=λ(x,y) (из аксиом 1 и 3 заключаем, что (x,λy)=(λy,x)=λ(y,x)= λ(x,y))(

2. (x,y₁+y₂)=(x,y₁)+(x,y₂) (из аксиом 1 и 2 получим, что (x,y₁+y₂)=( y₁+y₂,x)=(y₁,x)+(y₂,x)=(x,y₁)+(x,y₂)

Примеры.

1. C ^*[a,b] – множество комплексных значений функций z(t)=x(t)+iy(t), где x(t), y(t) - вещественные непрерывные на сегменте a≤t≤b. Операции сложения и умножения определяются обычным образом. (скалярное произведение (z₁,z₂)=∫^b_az₁(t)z₂(t)dt)

2. A ⁿ – элементы упорядоченной последовательности n комплексных чисел. Операции сложения и умножения на число определяются также, как и в Aⁿ. (скалярное произведение (x,y)=(x₁y₁+…+x_ny_n))

Неравенство Коши-Буняковского.

Докажем, что для любых двух элементов x и y произвольного комплексного евклидова пространства справедливо неравенство |(x,y)|²≤(x,x)(y,y).

Доказательство.

Н а основании аксиомы 4дл любого комплексного числа λ справедливо неравенство (λx-y, λx-y)≥0. Так как в силу аксиом 1-3 и их следствий (λx-y, λx-y)=λλ(x,x)-λ(x,y)-λ(y,x)+(y,y)=|λ|²(x,x)-λ(x,y)-λ(x,y)+(y,y), то неравенство (λx-y, λx-y)≥0 принимает вид |λ|²(x,x)-λ(x,y)-λ(x,y)+(y,y)≥0.

Обозначим через ϕ аргумент комплексного числа (x,y) и представим это число в тригонометрической форме (x,y)=|(x,y)|(cosϕ+isinϕ). Положим теперь комплексное число λ равным λ=t(cosϕ-isinϕ), где t – произвольное вещественное число.

И з соотношений (x,y)=|(x,y)|(cosϕ+isinϕ) и λ=t(cosϕ-isinϕ) очевидно, что |λ|=|t|, λ(x,y)=λ(x,y)=t|(x,y)|. Поэтому при выбранном нами λ неравенство |λ|²(x,x)-λ(x,y)-λ(x,y)+(y,y)≥0 переходит в неравенство t²(x,x)-2t|(x,y)|+(y,y)≥0 справедливое при любом вещественном t. Необходимым и достаточным условием неотрицательности квадратного трехчлена, стоящего в левой части этого неравенства, является неположительность его дискриминанта, то есть неравенство |(x,y)|²-(x,x)(y,y)≤0 эквивалентное неравенству |(x,y)|²≤(x,x)(y,y). Теорема доказана.

Всякое комплексное евклидово пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента x определить соотношением ||x||=[(x,x)]^1/2. В частности, во всяком комплексном евклидовом пространстве с нормой, определяемое соотношением ||x||=[(x,x)]^1/2, справедливо неравенство треугольника ||x+y||≤||x||+||y||.

(Понятие угла между двумя произвольными элементами x и y в комплексном евклидовом пространстве теряет смысл, вследствие того, что скалярное произведение (x,y) является комплексным числом)