- •Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств. Некоторые свойства их свойства.
- •Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства. Свойства.
- •Базис линейного пространства. Единственность разложения элемента линейного пространства по базису. Линейные операции над элементами, заданными в координатах.
- •Размерность линейного пространства. Две теоремы о связи размерности линейного пространства и базиса.
- •Изоморфизм линейного пространства. Теорема об изоморфизме линейных пространств одинаковой размерности.
- •Подпространство линейного пространства. Примеры. Линейная оболочка. Примеры. Размерность подпространства. Теорема о размерности линейной оболочки.
- •Сумма и пересечение подпространств. Теорема о сумме размерностей произвольных подпространств.
- •Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств. Определение и теорема.
- •Прямое и обратное преобразование базисов. Доказательство непрерывности матрицы перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат при преобразовании базиса.
- •Вещественное евклидово пространство, примеры. Неравенство Коши-Буняковского.
- •Нормированное линейное пространство. Норма в евклидовом пространстве. Угол между элементами линейного пространства. Ортогональные элементы. Теорема Пифагора.
- •Ортонормированный базис в евклидовом пространстве. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Процесс ортогонализации.
- •Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Смысл координат произвольного элемента в этом базисе.
- •Разложение евклидова пространства на прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.
- •Теорема об изоморфизме евклидовых пространств.
- •Комплексное евклидово пространство. Следствия из аксиом. Неравенство Коши-Буняковского. Норма. Скалярное произведение.
- •Определение линейного оператора . Действие над линейными операторами. Пространство линейных операторов. Нулевой, противоположный и тождественный операторы.
- •Свойства множества линейных операторов l(V,V). Обратный оператор.
- •Матрица линейного оператора. Теорема о соответствии каждой квадратной матрице линейного оператора.
- •Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Смысл координат произвольного элемента в этом базисе.
Пусть e1, e2,…, en – произвольный ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства E, а x и y – два произвольных элементов этого пространства. Найдем выражение скалярного произведения (x,y) этих элементов через их координаты относительно базиса e1, e2,…, en.
Обозначим координаты x и y относительно базиса e1, e2,…, en соответственно через x1, x2,…, xn и y1, y2,…, yn, то есть предположим, что x=x1e1+x2e2+…+xnen, y=y1e1+y2e2+…+ynen. Тогда (x,y)=( x1e1+x2e2+…+xnen, y1e1+y2e2+…+ynen).
И з последнего равенства в силу аксиом скалярного произведения и соотношений
1, при i=k
(ei,ek)=
0, при i≠k
получим (x,y)=(Ʃni=1xiei,Ʃnk=1ykek)= Ʃni=1Ʃnk=1xiyk(eiek)=x1y1+…+xnyn.
Итак, окончательно (x,y)=x1y1+…+xnyn. Таким образом, в ортонормированном базисе скалярное произведение двух любых элементов равно сумме произведений соответствующих координат этих элементов.
Выясним смысл координат произвольного элемента x относительно произвольного ортонормированного базиса e1, e2,…, en n-мерного евклидова пространства E. Обозначим координаты элемента x относительно e1, e2,…, en через x1, x2,…, xn, то есть предположим, что x=x1e1+x2e2+…+xnen.
О бозначим далее через k любой из номеров 1, 2,…, n и умножим обе части x=x1e1+x2e2+…+xnen скалярно на элемент ek. На основании аксиом скалярного произведения и соотношений
1, при i=k
(ei,ek)=
0, при i≠k
получим (x,ek)=( Ʃni=1xiei,ek)= Ʃni=1xi(eiek)=xk. Таким образом, координаты произвольного элемента относительно ортонормированного базиса равны скалярным произведениям этого элемента на соответствующие базисные элементы. Поскольку скалярное произведение произвольного элемента x на элемент e, имеющий норму, равную единице, естественно назвать проекцией элемента x на элемент e, то можно сказать, что координаты произвольного элемента относительно ортонормированного базиса равны проекция этого элемента на соответствующие базисные элементы.
Разложение евклидова пространства на прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.
Пусть G – произвольное подпространство n-мерного евклидова пространства E.
Определение. Совокупность F всех элементов y пространства E, ортогональных к каждому элементу x подпространства G, называется ортогональным дополнением подпространства G.
Ортогональное дополнение F является подпространством пространства E (пусть y1, y2єF, то есть (y1,x)=0 и (y2,x)=0 для любых xєG. Тогда (α1y1+α2y2,x)=α1(y1,x)+α2(y2,x)=0)
Теорема. Всякое n-мерное евклидово пространство E представляет собой прямую сумму своего произвольного подпространства G и его ортогонального дополнения F.
Доказательство.
Выберем в G произвольный ортонормированный базис e1, e2,…, ek. Этот базис можно дополнить элементами fk+1,…, fn пространства E до базиса во всем E. Произведя процесс ортогонализации элементов e1, e2,…, ek, fk+1,…, fn, мы получим ортонормированный элемент x пространства E. Разложив произвольный элемент x пространства E по этому базису, то есть представив его в виде x=x1e1+…+xkek+xk+1fk+1+…+xnfn, мы получим, что этот элемент x однозначно представим в виде x=x’+x’’, где x’= x1e1+…+xkek совершенно определенный элемент G, а x’’= xk+1fk+1+…+xnfn – совершенно определенный элемент ортогонального дополнения F (каждый элемент ek+1,…, en ортогонален к любому из элементов e1, e2,…, ek, а потому ортогонален любому элементу G; поэтому и линейная комбинация xk+1fk+1+…+xnfn ортогональна к любому элементу G, то есть является совершенно определенным элементом F). Теорема доказана.